【题解】P3623 [APIO2008]免费道路

题意

P3623 [APIO2008]免费道路

给出一个包含 $n$ 个顶点和 $m$ 条无向边的无向图。已知边有 $0$ 和 $1$ 两种类型，试求原图的一棵生成树，使得其恰好包含 $k$ 条类型 $0$ 的边。若不存在满足条件的生成树则输出 no solution

$1 \leq n \leq 2 \times 10^4, 1 \leq m \leq 10^5, 0 \leq k \leq n - 1$

思路

最小生成树。

对于连通的图，可以考虑从其中删去若干条边，构造出一棵符合条件的生成树。

假设图中仅剩类型为 $1$ 的边，则此时图可能不连通。因此我们发现如果一条类型为 $0$ 的边连接了两个当前尚未连通的顶点，说明当前边应该被加入图中。

当然，加入图中的边集 $A$ 不唯一。为了使加入图中的边数量最少，这里可以用类似 kruskal 的方法求这些边。

图中仅剩类型为 $0$ 的边的情况同理，令此时加入图中的边集为 $B$ 。

求一棵生成树，实际上等价于希望图中仅剩 $A$ 或 $B$ 时令图连通需要加入的边数最小。不妨令图中只剩下 $A$ 和 $B$ 中的边，然后对原图跑一遍类似 kruskal 的算法，求出令图连通需要加入的边。

但是我们需要满足类型 $0$ 的数量限制。因此我们可以考虑先对于类型 $0$ 中不属于 $A$ 的边求一部分最小生成树，把 $k$ 条类型 $0$ 的边加满；然后对于类型 $1$ 中不属于 $B$ 的边求剩下部分的最小生成树，加满类型 $1$ 的 $n - 1 - k$ 条边。

容易看出跑最小生成树时遍历边的顺序不影响图的连通性，或者可以看作是给每条边赋上一个附加的权值，使得按照附加权值排序以后边按照我们遍历的顺序排列。

无解的情况为：

图不连通
$|A| > k$ 或 $|B| > n - 1 - k$
原因：上面令 $A, B$ 的大小取到了可能的最小值，即 $|A|, |B|$ 分别小于等于图中类型 $0$ 和类型 $1$ 的边的数量下限。如果仍然存在大于的情况说明无解。
最终加不满 $k$ 条类型 $0$ 的边或加不满 $n - 1 - k$ 条类型 $1$ 的边。
原因：

若加不满 $k$ 条类型 $0$ 的边，此时有两种可能：
1. 图中类型 $0$ 的边数量不足 $k$ 条。
2. 未加入图的边连接的两个顶点已经被 $A, B$ 以及之后加入的类型 $0$ 的边连通了。这意味着对于任意一种 $A, B$ 的选取方式，类型 $0$ 中存在恒定数量的“废边”。
换言之，加入这些废边会导致出现若干环。此时在环中删去一条边 $(u, v)$ ，得到新的图 $G^{\prime}$ ，此时可以看作是向 $G^{\prime}$ 中加入边 $(u, v)$ 。又因为加入 $(u, v)$ 会出现环，所以 $(u, v)$ 可以看作是该局面下的废边，即废边数量恒定。在此局面无法加满 $k$ 条边，意味着在所有可能的局面下都无法加满 $k$ 条边。
不能加入废边的原因是生成树只有 $n - 1$ 条边，加入废边会导致无法加入原本对连通性有贡献的边。

若加不满 $n - 1 - k$ 条类型 $1$ 的边，此时又有两种可能：
1. 图中类型 $1$ 的边不足 $n - 1 - k$ 条
2. 原图不连通
加满 $k$ 条类型 $0$ 的边时，假设此时使用了 $x$ 条边，因为图中无环（不存在一条边连接两个已经连通的顶点），所以有 $x + 1$ 个顶点被连通。不妨令所有连通块缩成一个点，构造出新图 $G^{\prime}$ ，则我们需要在该图中用 $n - 1 - x$ 条边连通 $n - (x + 1) = n - x$ 个顶点（每加入一条边会合并两个连通块，即减少一个，共减少 $x$ 个）。若新图连通，则显然有解。新图不连通的情况可以对应到原图不连通的情况。

综上，跑三遍 kruskal 即可。

时间复杂度 $O(m \log n)$

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 2e4 + 5;
const int maxm = 1e5 + 5;

int n, m, k;
int fa[maxn];
int u[maxm], v[maxm], c[maxm];
vector<int> g[2];
bool vis[maxm];

void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
}

int get(int x)
{
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = get(fa[x]);
}

void merge(int x, int y)
{
    x = get(x);
    y = get(y);
    if (x != y) fa[y] = x;
}

bool check()
{
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (get(i) == i) cnt++;
    return (cnt == 1);
}

int main()
{
    int cnt0, cnt1;
    cnt0 = cnt1 = 0;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &u[i], &v[i], &c[i]);
        g[c[i]].push_back(i);
        merge(u[i], v[i]);
    }
    if (!check())
    {
        puts("no solution");
        return 0;
    }
    init();
    for (int i = 0; i < g[1].size(); i++) merge(u[g[1][i]], v[g[1][i]]);
    for (int i = 0; i < g[0].size(); i++)
    {
        if (get(u[g[0][i]]) != get(v[g[0][i]]))
        {
            merge(u[g[0][i]], v[g[0][i]]);
            vis[g[0][i]] = true;
            cnt0++;
        }
    }
    if (cnt0 > k)
    {
        puts("no solution");
        return 0;
    }
    init();
    for (int i = 0; i < g[0].size(); i++) merge(u[g[0][i]], v[g[0][i]]);
    for (int i = 0; i < g[1].size(); i++)
    {
        if (get(u[g[1][i]]) != get(v[g[1][i]]))
        {
            merge(u[g[1][i]], v[g[1][i]]);
            vis[g[1][i]] = true;
            cnt1++;
        }
    }
    if (cnt1 > n - 1 - k)
    {
        puts("no solution");
        return 0;
    }
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (vis[i]) merge(u[i], v[i]);
    for (int i = 0; i < g[0].size(); i++)
    {
        if (cnt0 == k) break;
        if (get(u[g[0][i]]) != get(v[g[0][i]]))
        {
            merge(u[g[0][i]], v[g[0][i]]);
            vis[g[0][i]] = true;
            cnt0++;
        }
    }
    if (cnt0 < k)
    {
        puts("no solution");
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i < g[1].size(); i++)
    {
        if (cnt1 == n - 1 - k) break;
        if (get(u[g[1][i]]) != get(v[g[1][i]]))
        {
            merge(u[g[1][i]], v[g[1][i]]);
            vis[g[1][i]] = true;
            cnt1++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (vis[i]) printf("%d %d %d\n", u[i], v[i], c[i]);
    return 0;
}