决策单调性优化DP
概念
决策单调性是最优性 dp 的一种特殊性质，用于优化 dp 的复杂度。
在最优性 dp 中，可以转移到最优状态的状态称之为最优转移点。
决策单调性指的是最优转移点随 dp 的顺序而单调移动。
一般情况下决策单调性优化的是区间分段问题，即将原序列划分成若干段求贡献最值。
判断决策单调性可以打表或者证明贡献函数满足四边形不等式。
四边形不等式
令 \(c(l, r)\) 表示将 \([l, r]\) 划分成一段的贡献。
以求最小值为例。假设 \(1 \leq p1 \leq p2 \leq p3 \leq p4 \leq n\)，如果函数 \(c\) 满足：
\(c(p1, p3) + c(p2, p4) \leq c(p1, p4) + c(p2, p3)\)
（即交叉的贡献小于等于包含的贡献）
则称函数 \(c\) 满足四边形不等式，即原方程具有决策单调性。
我的评价是不如打表。
常用优化
有单峰性 - 单指针优化
如果贡献函数 \(c\) 是单峰的，即最优决策点左侧的贡献向左递减，右侧的贡献向右递减，那么可以用单指针优化。
假设有一维护最优决策点的指针 \(p\)，由于决策单调性，\(p\) 单调不减。
那么只需要一直尝试右移 \(p\)，直到贡献变劣为止。
此时由于单峰性，\(p\) 一定取到最优决策点。
总复杂度是状态总数，摊下来是 \(O(1)\) 转移。
贡献函数简单 - 二分队列
如果 \(c\) 可以很快算出（\(O(1)\) 或 \(O(\log)\)），可以用二分队列优化。
优化二维 / 通常情况 - 分治
【题解】LOJ #6384. 「是男人就过8题——Pony.ai」SignLocation
注意到最优决策点将可以转移的状态划分成两部分连续区间，考虑分治。
令 solve(l, r, L, R) 表示当前需要转移的区间是 \([l, r]\)，可以从 \([L, R]\) 中的状态转移。
那么考虑找出中点 \(m\) 的最优决策点 \(p\)，考虑继续分治：
solve(l, m - 1, L, p), solve(m + 1, r, p, R)
时间复杂度 \(O(n \log n)\)
二维只需要考虑对每一层进行分治即可，注意继承上一层的状态。
贡献复杂 - 分治 + 莫队
这个只能算一种技巧，但是它可以草很多东西。
有时候 \(c\) 会很复杂，例如子段逆序对数量一类。如果它可以用类莫队状物求，那么可以通过分治树的性质优化。
考虑维护两个指针，每次分治的时候按需跳指针。根据分治树的性质，这里的复杂度只是常数问题。
于是可以大力快乐求贡献辣！！！1
莫队，很奇妙吧
