决策单调性优化DP

概念

决策单调性是最优性 dp 的一种特殊性质，用于优化 dp 的复杂度。

在最优性 dp 中，可以转移到最优状态的状态称之为最优转移点。

决策单调性指的是最优转移点随 dp 的顺序而单调移动。

一般情况下决策单调性优化的是区间分段问题，即将原序列划分成若干段求贡献最值。

判断决策单调性可以打表或者证明贡献函数满足四边形不等式。

四边形不等式

令 $c(l, r)$ 表示将 $[l, r]$ 划分成一段的贡献。

以求最小值为例。假设 $1 \leq p1 \leq p2 \leq p3 \leq p4 \leq n$，如果函数 $c$ 满足：

$c(p1, p3) + c(p2, p4) \leq c(p1, p4) + c(p2, p3)$

（即交叉的贡献小于等于包含的贡献）

则称函数 $c$ 满足四边形不等式，即原方程具有决策单调性。

我的评价是不如打表。

常用优化

有单峰性 - 单指针优化

如果贡献函数 $c$ 是单峰的，即最优决策点左侧的贡献向左递减，右侧的贡献向右递减，那么可以用单指针优化。

假设有一维护最优决策点的指针 $p$，由于决策单调性，$p$ 单调不减。

那么只需要一直尝试右移 $p$，直到贡献变劣为止。

此时由于单峰性，$p$ 一定取到最优决策点。

总复杂度是状态总数，摊下来是 $O(1)$ 转移。

贡献函数简单 - 二分队列

如果 $c$ 可以很快算出（$O(1)$ 或 $O(\log)$），可以用二分队列优化。

具体见 【题解】P1912 [NOI2009] 诗人小G

优化二维 / 通常情况 - 分治

【题解】LOJ #6384. 「是男人就过8题——Pony.ai」SignLocation

注意到最优决策点将可以转移的状态划分成两部分连续区间，考虑分治。

令 solve(l, r, L, R) 表示当前需要转移的区间是 $[l, r]$，可以从 $[L, R]$ 中的状态转移。

那么考虑找出中点 $m$ 的最优决策点 $p$，考虑继续分治：

solve(l, m - 1, L, p), solve(m + 1, r, p, R)

时间复杂度 $O(n \log n)$

二维只需要考虑对每一层进行分治即可，注意继承上一层的状态。

贡献复杂 - 分治 + 莫队

【题解】P5574 [CmdOI2019]任务分配问题

这个只能算一种技巧，但是它可以草很多东西。

有时候 $c$ 会很复杂，例如子段逆序对数量一类。如果它可以用类莫队状物求，那么可以通过分治树的性质优化。

考虑维护两个指针，每次分治的时候按需跳指针。根据分治树的性质，这里的复杂度只是常数问题。

于是可以大力快乐求贡献辣！！！1

莫队，很奇妙吧