矩阵树定理

没有证明，快逃。

概念

矩阵树定理，用于一类图论问题的生成树计数。

通常给出一个有向图或无向图，需要求出图中的 内向生成树 / 外向生成树 / 生成树的 个数 / 权值乘积之和等。

这类问题可以通过矩阵树定理转化成行列式求值。

时间复杂度 \(O(n^3)\).

内容

以无向图为例。

令 \(D\) 为无向图的度数矩阵，\(D[i][j] = \begin{cases} \operatorname{deg(i)}, &i = j \\ 0, &i \neq j \end{cases}\).

令 \(A\) 为无向图的邻接矩阵，\(A[i][j] = \sum\limits_{(u, v) \in E} [u = i, v = j]\).

则该无向图的基尔霍夫（Kirchoff）矩阵为 \(D - A\).

矩阵树定理：该无向图以 \(r\) 为根的生成树个数 等价于 基尔霍夫矩阵去掉第 \(r\) 行第 \(r\) 列得到的行列式的值。

具体证明不会，懒得学了，可能也学不会。

对于有向图：

• 求外向生成树个数：令 \(D\) 为入度矩阵。

• 求内向生成树个数：令 \(D\) 为出度矩阵。

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变式：定义生成树的权值为其中所有边权的乘积，求图中所有生成树的权值之和。

实际上矩阵树定理等价于求 \(\sum\limits_{T} \prod\limits_{(u, v) \in T} w(u, v)\).

所以只需要令 \(D[i][j] = \begin{cases} \sum\limits_{(i, k) \in G} w(i, k), &i = j \\ 0, &i \neq j \end{cases}\).

令 \(A[i][j] = \sum\limits_{(i, j) \in G} w(i, j)\).

这样就可以直接套用矩阵树定理求了。

模数不为 \(0\) 的时候直接辗转相除求，时间复杂度是 \(O(n^2 (n + \log n))\)，可能略微卡常。