扩展欧几里得

概念

扩展欧几里得算法（$\texttt{exgcd}$） 是一种可以求出关于 $x, y$ 的方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的通解的算法。

不妨设 $a > b$，则 $\tt exgcd$ 的时间复杂度为 $O(logb)$

思想

$\texttt{exgcd}$ 的实现求出的是原方程的一组整数特解 $x, y.$

显然当 $b = 0$ 时原方程有一组特解 $x = 1, y = 0$

当 $b \neq 0$ 时，设方程 $bx + (a \bmod b)y = \gcd(b, a \bmod b)$ 有一组整数特解 $x_2, y_2$，则方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 有一组整数特解为 $x_1 = y_2, y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2$

递归求解即可。

证明

根据裴蜀定理，存在 $x, y \in \mathbb{Z}$ 使得 $ax + by = \gcd(a, b)$

当 $b = 0$ 时原方程显然有特解 $x = 1, y = 0$

当 $b \neq 0$ 时，设原方程有一组整数特解 $x_1, y_1$

则 $ax_1 + by_1 = \gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)$

设 $bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(b, a \bmod b)$

则 $ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \bmod b)y_2$

又因为 $a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b$

代入得 $ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y_2$

$ax_1 + by_1 = bx_2 + ay_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor by_2$

$ax_1 + by_1 = ay_2 + (bx_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor by_2)$

所以有 $ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)$

易得 $x_1 = y_2, y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2$

拓展

通解和最小非负整数解

设方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 有一组整数特解 $x^{\prime}, y^{\prime}$

则 $ax + by = \gcd(a, b)\ (1)$ 且 $ax^{\prime} + by^{\prime} = \gcd(a, b)\ (2)$

$(1) - (2)$ 得 $(ax + by) - (ax^{\prime} + by^{\prime}) = 0$

整理得 $a(x - x^{\prime}) + b(y - y^{\prime}) = 0$

即 $a(x - x^{\prime}) = b(y^{\prime} - y)$

两边同除 $\gcd(a, b)$ 得 $\frac{a}{\gcd(a, b)}(x - x^{\prime}) = \frac{b}{\gcd(a, b)}(y^{\prime} - y)$

$\because$ $\frac{a}{\gcd(a, b)}$ 和 $\frac{b}{\gcd(a, b)}$ 互质

$\therefore$ $x - x^{\prime} = t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y^{\prime} - y = t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}$

$\therefore$ 原方程的通解为 $x = x^{\prime} + t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y = y^{\prime} - t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}$

$\therefore$ 原方程的最小非负整数解为 $x = (x^{\prime} \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)} + \frac{b}{\gcd(a, b)}) \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)}$

$ax + by = c$

根据裴蜀定理知，原方程有解，当且仅当 $\gcd(a, b) \mid c$

先求出 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的一组通解 $x_0, y_0$

原式两边乘 $\frac{c}{\gcd(a, b)}$ 得 $ax_0\frac{c}{\gcd(a, b)} + by_0\frac{c}{\gcd(a, b)} = c$

易得原方程的一组特解为 $x^{\prime} = x_0\frac{c}{\gcd(a, b)}, y^{\prime} = y_0\frac{c}{\gcd(a, b)}$

类似地，可以得出原方程的通解形式为

$x = x_0\frac{c}{\gcd(a, b)} + t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y = y_0\frac{c}{\gcd(a, b)} - t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}$

原方程的最小正整数解为 $x = (x^{\prime} \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)} + \frac{b}{\gcd(a, b)}) \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)}$

$ax \equiv c(\bmod b)$

原方程可化为 $ax + by = c$ 的形式，其中 $y \in \mathbb{Z}$

用上面的方法求解即可

注意到有很多解在模 $b$ 意义下相同

此时有结论：共有 $\gcd(a, b)$ 个模 $b$ 意义下不同的解

当通解中的 $t$ 满足 $t \in [0, \gcd(a, b) - 1]$ 时取到所有解

模板

view codell exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	ll d = a;
	if (b == 0)
		x = 1, y = 0;
	else
	{
		d = exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= (a / b * x);
	}
	return d;
}