扩展欧几里得

概念

扩展欧几里得算法（\(\texttt{exgcd}\)） 是一种可以求出关于 \(x, y\) 的方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的通解的算法。

不妨设 \(a > b\)，则 \(\tt exgcd\) 的时间复杂度为 \(O(logb)\)

思想

\(\texttt{exgcd}\) 的实现求出的是原方程的一组整数特解 \(x, y.\)

显然当 \(b = 0\) 时原方程有一组特解 \(x = 1, y = 0\)

当 \(b \neq 0\) 时，设方程 \(bx + (a \bmod b)y = \gcd(b, a \bmod b)\) 有一组整数特解 \(x_2, y_2\)，则方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 有一组整数特解为 \(x_1 = y_2, y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2\)

递归求解即可。

证明

根据裴蜀定理，存在 \(x, y \in \mathbb{Z}\) 使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)

当 \(b = 0\) 时原方程显然有特解 \(x = 1, y = 0\)

当 \(b \neq 0\) 时，设原方程有一组整数特解 \(x_1, y_1\)

则 \(ax_1 + by_1 = \gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)\)

设 \(bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(b, a \bmod b)\)

则 \(ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \bmod b)y_2\)

又因为 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)

代入得 \(ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y_2\)

\(ax_1 + by_1 = bx_2 + ay_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor by_2\)

\(ax_1 + by_1 = ay_2 + (bx_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor by_2)\)

所以有 \(ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)\)

易得 \(x_1 = y_2, y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2\)

拓展

通解和最小非负整数解

设方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 有一组整数特解 \(x^{\prime}, y^{\prime}\)

则 \(ax + by = \gcd(a, b)\ (1)\) 且 \(ax^{\prime} + by^{\prime} = \gcd(a, b)\ (2)\)

\((1) - (2)\) 得 \((ax + by) - (ax^{\prime} + by^{\prime}) = 0\)

整理得 \(a(x - x^{\prime}) + b(y - y^{\prime}) = 0\)

即 \(a(x - x^{\prime}) = b(y^{\prime} - y)\)

两边同除 \(\gcd(a, b)\) 得 \(\frac{a}{\gcd(a, b)}(x - x^{\prime}) = \frac{b}{\gcd(a, b)}(y^{\prime} - y)\)

\(\because\) \(\frac{a}{\gcd(a, b)}\) 和 \(\frac{b}{\gcd(a, b)}\) 互质

\(\therefore\) \(x - x^{\prime} = t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y^{\prime} - y = t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}\)

\(\therefore\) 原方程的通解为 \(x = x^{\prime} + t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y = y^{\prime} - t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}\)

\(\therefore\) 原方程的最小非负整数解为 \(x = (x^{\prime} \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)} + \frac{b}{\gcd(a, b)}) \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)}\)

\(ax + by = c\)

根据裴蜀定理知，原方程有解，当且仅当 \(\gcd(a, b) \mid c\)

先求出 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组通解 \(x_0, y_0\)

原式两边乘 \(\frac{c}{\gcd(a, b)}\) 得 \(ax_0\frac{c}{\gcd(a, b)} + by_0\frac{c}{\gcd(a, b)} = c\)

易得原方程的一组特解为 \(x^{\prime} = x_0\frac{c}{\gcd(a, b)}, y^{\prime} = y_0\frac{c}{\gcd(a, b)}\)

类似地，可以得出原方程的通解形式为

\(x = x_0\frac{c}{\gcd(a, b)} + t\frac{b}{\gcd(a, b)}, y = y_0\frac{c}{\gcd(a, b)} - t\frac{a}{\gcd(a, b)}, t \in \mathbb{Z}\)

原方程的最小正整数解为 \(x = (x^{\prime} \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)} + \frac{b}{\gcd(a, b)}) \bmod \frac{b}{\gcd(a, b)}\)

\(ax \equiv c(\bmod b)\)

原方程可化为 \(ax + by = c\) 的形式，其中 \(y \in \mathbb{Z}\)

用上面的方法求解即可

注意到有很多解在模 \(b\) 意义下相同

此时有结论：共有 \(\gcd(a, b)\) 个模 \(b\) 意义下不同的解

当通解中的 \(t\) 满足 \(t \in [0, \gcd(a, b) - 1]\) 时取到所有解

模板

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	ll d = a;
	if (b == 0)
		x = 1, y = 0;
	else
	{
		d = exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= (a / b * x);
	}
	return d;
}