（扩展）中国剩余定理

中国剩余定理

概念

中国剩余定理（\(\texttt{Chinese Remainder Theorem}\), \(\tt CRT\)）可以求解关于 \(x\) 的线性同余方程组

\[\begin{cases} x \equiv a_1(\bmod p_1)\\ x \equiv a_2(\bmod p_2)\\ ...\\ x \equiv a_k(\bmod p_k) \end{cases} \]

其中 \(p_1, p_2, ..., p_k\) 两两互质。

思想

设 \(M = \prod\limits_{i = 1}^k p_i\)，\(m_i = \frac{M}{p_i}\)

另设 \(m_i^{-1}\) 为 \(m_i\) 在模 \(p_i\) 意义下的逆元，即 \(m_im_i^{-1} \equiv 1(\bmod p_i)\)

则方程的唯一解为 \(x = \sum\limits_{i = 1}^k a_im_im_i^{-1}\)

证明

首先证明方程解的正确性。

\[\because \forall i \neq j, m_j \equiv \frac{M}{p_j} \equiv 0(\bmod p_i)\\ \because m_jm_j^{-1} \equiv m_j \equiv 0(\bmod p_i) \textsf{且} m_im_i^{-1} \equiv 1(\bmod p_i)\\ \begin{aligned} \therefore \forall &1 \leq i \leq k,\\ x &\equiv \sum\limits_{j = 1}^k a_jm_jm_j^{-1} &(\bmod p_i)\\ &\equiv a_im_im_i^{-1} & (\bmod p_i)\\ &\equiv a_i &(\bmod p_i) \end{aligned} \]

然后证明方程解在模 \(M\) 意义下的唯一性。

考虑采用反证法。

设原方程组在模 \(M\) 意义下有两个不同的整数解 \(x, y\)，

则 \(\forall 1 \leq i \leq k\)，有 \(x \equiv (x \bmod m) \equiv y(\bmod p_i)\)

所以 \(x, y\) 在模 \(M\) 意义下是同一个解。

模板

P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 15;

int n;
ll mul;
ll a[maxn], p[maxn], inv[maxn], m[maxn];

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	ll d = a;
	if (b == 0)
		x = 1, y = 0;
	else
	{
		d = exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= (a / b * x);
	}
	return d;
}

int main()
{
	ll x, y, ans = 0;
	mul = 1;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%lld%lld", &p[i], &a[i]);
		mul *= p[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		m[i] = mul / p[i];
		exgcd(m[i], p[i], inv[i], y);
		ans = (ans + a[i] * m[i] * (inv[i] < 0 ? inv[i] + p[i] : inv[i]));
	}
	printf("%lld\n", ans % mul);
	return 0;
}

扩展中国剩余定理

概念

扩展中国剩余定理（\(\tt EXCRT\)）可以求解关于 \(x\) 的线性同余方程组：

\[\begin{cases} x \equiv a_1(\bmod p_1)\\ x \equiv a_2(\bmod p_2)\\ ...\\ x \equiv a_k(\bmod p_k)\\ \end{cases} \]

其中 \(p_1, p_2, ..., p_k\) 不一定 两两互质。

思路

如果按照 \(\tt CRT\) 的思路求解，会出现 \(m_i\) 的逆元根本不存在的情况，因此考虑合并同余方程。

假设前 \(i - 1\) 个同余方程的一个特解为 \(x^{\prime}\) 且 \(\operatorname{lcm}_{j = 1}^{i - 1} p_j = M\)

则前 \(i - 1\) 个同余方程的通解形式为 \(x^{\prime} + tM, t \in \mathbb{Z}\)

合并第 \(i\) 个同余方程实际上等价于求满足要求的 \(t\)，使得 \(x^{\prime} + tM \equiv a_i(\bmod p_i)\)

即 \(tM \equiv a_i - x^{\prime}(\bmod p_i)\)

原方程可进一步化为 \(tM + kp_i = a_i - x^{\prime}, k \in \mathbb{Z}\)

当该方程无解时，原方程组无解。

反之，考虑用扩展欧几里得求出 \(t, k\) 的一组特解，则前 \(i\) 个同余方程的一个特解为 \(x^{\prime} + tM\)

显然联立方程 \(x \equiv 0(\bmod 1)\) 与原方程组对解没有影响

所以在代码中可以把 \(\operatorname{lcm}_{j = 1}^{i - 1}p_j\) 的初始值赋值为 \(1\)，将特解赋值为 \(0\)，直接从原方程组中的第 \(1\) 个方程开始合并

代码

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n;
ll a[maxn], p[maxn];

ll fmul(ll a, ll b, ll mod)
{
	ll res = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = (res + a) % mod;
		a = (a + a) % mod;
		b /= 2;
	}
	return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll g = exgcd(b, a % b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return g;
}

ll excrt()
{
	ll ans = 0, mul = 1, x, y;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		ll A = mul, B = p[i], C = (a[i] - ans % B + B) % B;
		ll g = exgcd(A, B, x, y), bg = B / g;
		if (C % g != 0)
			return -1;
		x = fmul(x, C / g, bg);
		ans = ans + x * mul;
		mul = mul * bg;
		ans = (ans % mul + mul) % mul;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld%lld", &p[i], &a[i]);
	printf("%lld\n", excrt());
	return 0;
}