多项式基础

多项式

多项式：形如 \(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot x^i\) 的关于 \(x\) 的式子，其中 \(a_i\) 为常数，\(n\) 称为多项式的系数。多项式可以看成关于 \(x\) 的 \(n\) 次函数。

点值表示法：确定一个 \(n\) 次多项式需要 \(n + 1\) 个点，用 \(n + 1\) 个点确定多项式的方法称为点值表示法。

系数表示法：\(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot x^i\)

设 \(n\) 次多项式 \(A(x) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot x_i, B(x) = \sum\limits_{i = 0}^n b_i \cdot x_i\)

多项式加减法：\(f(x) = A(x) \pm B(x) = \sum\limits_{i = 0}^n (a_i \pm b_i) x^i\)

多项式乘法（加法卷积）：

两个 \(n\) 次多项式相乘的结果是一个 \(2n\) 次多项式。

\(f(x) = A(x) \times B(x) = \sum\limits_{i = 0}^n \sum\limits_{j = 0}^n a_i \cdot b_j \cdot x^{i + j}\)

即 \(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^2n \sum\limits_{j = 0}^{\min(i, n)} a_j \cdot b_{i - j} \cdot x_i\)

点值表示法下的多项式加减乘法直接将对应的点值加减乘即可，注意乘法需要 \(A(x), B(x)\) 各给出 \(2n\) 组点值。

多项式除法：长除法推广。

复数

复数：定义常数 \(i\) 满足 \(i^2 = -1\)，则所有形如 \(z = a + b \times i, a, b \in R\) 的数 \(z\) 构成的集合称为复数集，记为 \(C\)，其中 \(a\) 称为实部，\(b\) 称为虚部，\(C\) 中的每个数都称为复数。

复平面：复平面是一个笛卡尔平面，横轴为实轴，纵轴为虚轴。对于一个复数 \(z = a + bi\)，它在复平面上对应一个从原点到 \((a, b)\) 的向量。

辐角：以实轴正方向为始边，\(z\) 对应的向量为终边的角称为复数 \(z\) 的辐角。

复数的模：复数 \(z = a + bi\) 的模为其在复平面上对应向量的长度，记作 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

共轭复数：复数 \(z\) 在复平面上对应的向量关于实轴对称后的向量对应的复数称为复数 \(z\) 的共轭复数，记作 \(\overline{z}\)

设 \(z\) 的辐角为 \(\theta_0\)，\(\overline{z}\) 的辐角为 \(\theta_1\)，则：

\(\theta_0 + theta_1 = \pi, |z| = |\overline{z}|\)

且两者的实部相同，虚部互为相反数。

复数加减法：复数 \(z_1 = a_1 + b_1i, z_2 = a_2 + b_2i\) 相加减得到的结果是：

\(z_0 = z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2)i\)

在复平面上的结果是对应的向量按照平行四边形定则相加减。

复数乘法：复数 \(z_1 = a_1 + b_1i, z_2 = a_2 + b_2i\) 相乘得到的结果是：

\(z_0 = z_1 \times z_2 = (a_1 + b_1i) \times (a_2 + b_2i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + a_2 b_1 i + b_1 b_2 i^2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i\)

且 \(\theta_0 = \theta_1 + \theta_2, |z_0| = |z_1| \times |z_2|\)

共轭复数的乘积 \(z \times \overline{z} = (a + b i) \times (a - b i) = a^2 + b^2\) 一定是实数。

复数除法：复数 \(z_1 = a_1 + b_1i, z_2 = a_2 + b_2i\) 相除得到的结果是：

\(z_0 = \frac{z_1}{z_2}\)

上下同时乘 \(\overline{z_2}\) 得：

\(z_0 = \frac{z_1 \overline{z_2}}{a_2^2 + b_2^2}\)

于是只需要将分子的实部虚部都除以分母（分母是实数）即可。