动态规划优化

单调队列优化

P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G

通常优化形如 $dp[i] = \min_{i = 1}^j (dp[j] + val(j))$ ，且 $val(j)$ 只与 $j$ 有关的方程。

考虑用单调队列维护：在 可以转移 到当前状态 且 用其转移最优 的状态。于是类似滑动窗口，分析可以转移到当前状态的取值范围并更新队列，每次只需取出队首更新即可。

注意是否能将 $val(j)$ 转化成只与 $j$ 有关的式子。

单调队列中的比较运算可能需要比较多个因素。

优化多重背包

P1776 宝物筛选

记多重背包中共有 $n$ 个物品，背包容量为 $V$。对于第 $i$ 个物品，其价值为 $w_i$，体积为 $c_i$，数量为 $m_i$

普通多重背包的状态转移方程：

$f[i][j] = \max(f[i - 1][j - k \cdot c_i] + k \cdot w_i$

其中 $0 \leq k \leq \min(\lfloor \frac{V}{c_i} \rfloor, m_i)$

发现实际上可能无法取到 $m_i$ 个第 $i$ 个物品，所以实际上最多能取的个数为：

$m^{\prime}_i = \min(\lfloor \frac{V}{c_i} \rfloor, m_i)$

为方便起见，下文以 $m_i$ 表示 $m^{\prime}_i$

观察状态之间的转移关系，我们容易发现：

$f[i][j]$ 可以从 $f[i - 1][j - c_i], f[i - 1][j - 2 \cdot c_i], ..., f[i - 1][j \bmod c_i]$ 转移。

$f[i][j - c_i]$ 可以从 $f[i - 1][j - 2 \cdot c_i], f[i - 1][j - 3 \cdot c_i], ..., f[i - 1][j \bmod c_i]$ 转移。

以此类推，即只有背包容积对 $c_i$ 取模余数相同的状态之间才会发生转移，并且余数不同的状态之间转移互不影响。因此，我们可以考虑把状态按余数分类，分别考虑转移。

接下来考虑把状态转移方程写成可以单调队列优化的形式。

令 $a = \lfloor \frac{j}{c_i} \rfloor, b = j \bmod c_i$，即 $j = a \cdot c_i + b$

观察原本的状态转移方程：

$f[i][j] = \max(f[i - 1][j - k \cdot c_i] + k \cdot w_i$

其中 $0 \leq k \leq \min(\lfloor \frac{V}{c_i} \rfloor, m_i)$

显然有 $j - k \cdot c_i = (a \cdot c_i + b) - k \cdot c_i = (a - k) \cdot c_i + b$

令 $k^{\prime} = a - k$，则 $j - k \cdot c_i = k^{\prime} \cdot c_i + b$

因为 $0 \leq k \leq m_i, k^{\prime} = a - k$

所以 $a - m_i \leq k^{\prime} \leq a$

又易得 $k \cdot w_i = a \cdot w_i - (a - k) \cdot w_i = a \cdot w_i - k^{\prime} \cdot w_i$

所以原状态转移方程等价于：

$f[i][j] = \max(f[i - 1][k^{\prime} \cdot c_i + b] + a \cdot w_i - k^{\prime} \cdot w_i)$

其中 $a - m_i \leq k^{\prime} \leq a$

发现可以用单调队列维护方程中 $f[i - 1][k^{\prime} \cdot c_i + b] - k^{\prime} \cdot w_i$ 的最大值。于是可以考虑先枚举余数 $b$，然后再升序枚举 $a$ 以枚举 $j$（$j = a \cdot c_i + b$），显然 $k^{\prime}$ 取值范围的上下界都随 $a$ 的增大而增大，直接单调队列维护即可。

注意代码中先更新单调队列，再更新状态，因此使用的值总是前 $i - 1$ 个物品的答案，即不需要倒序枚举 $a$

容易发现对于当前物品，所有分组的状态总数为 $V$。单调队列维护转移的复杂度是 $O(V)$，故而总时间复杂度为 $O(nV)$，优于二进制优化和朴素算法。

注意当 $m_i = 0$ 时需要特判（有用全拿）

view code#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 105;
const int maxv = 1e5 + 5;

struct item
{
    int p, v;
    item(int _p = 0, int _v = 0) : p(_p), v(_v) {}
} dq[maxv];

int n, v;
int f[maxv];
int w[maxn], c[maxn], m[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &v);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &w[i], &c[i], &m[i]);
        m[i] = min(m[i], v / c[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < c[i]; j++)
        {
            int l, r;
            l = 1, r = 0;
            for (int k = 0; k <= (v - j) / c[i]; k++)
            {
                int val = f[k * c[i] + j] - k * w[i];
                while ((l <= r) && (dq[r].v <= val)) r--;
                dq[++r] = item(k, val);
                while ((l <= r) && (dq[l].p < k - m[i])) l++;
                if (l <= r) f[k * c[i] + j] = dq[l].v + k * w[i];
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[v]);
    return 0;
}

数据结构优化

朴素优化

若转移方程形如 $f[i] = \max(f[j] + val(j, i))$，可以考虑用线段树优化。

用线段树维护从第 $i$ 个位置转移的贡献，每次向右移动的时候把当前位置的贡献添加到线段树上即可。

例：CF833B The Bakery

整体 dp

有一类状态设计形如 $dp[i][j]$，且通常有很多第一维相同并且值相同的状态。

可以考虑用一棵动态开点线段树去维护第二维。

可以和线段树合并一类的技巧一起使用。

例：CF1455G Forbidden Value

矩乘优化

每个状态能转移到的状态集合一定时可以使用矩乘优化，例如方程为 $f[i] = a \cdot f[i - 2] + b \cdot f[i - 1]$

通常考虑根据定义设计出初始矩阵，再根据方程设计出用以转移的矩阵，然后通过矩阵快速幂快速转移。

有时特征是可以用 dp 解决并且数据范围极大（$\log$ 可过）

斜率优化

单调队列优化 plus pro max ultra x 至尊奢华黄金尊享版

优化形如 $f[i] = a(i)b(j) + c(i) + d(j)$ 的方程

考虑从两个位置 $j, k$ 转移且 $j$ 比 $k$ 的条件，列不等式。

参变分离，整理式子时将含有 $i$ 的项放在一边，将剩下的部分放在另一边。

于是得形如直线斜率的不等式，单调队列维护凸包即可。

求最小值维护的是下凸包，求最大值为上凸包。

线段树合并优化

优化一类对于每个结点都维护值域所有信息的树形 dp

【题解】P5298 [PKUWC2018]Minimax

决策单调性优化

杂项

1. 求最值 -> 观察每一项的单调性