border 的一些性质

有时候一些神仙字符串题会用到 border 的性质来转化或者证明复杂度，记一下这些有用的结论。

记号：

1. 字符串：$s_{1, ..., n}$，长度为 $|s|$

2. 子串：$s_{[l, r]}$

3. 前 / 后缀：$pre(s, i), suf(s, i)$ 分别表示字符串 $s$ 长度为 $i$ 的前 / 后缀。

4. 最小周期：$pre(s)$ 表示字符串 $s$ 的最小周期。

令：

1. $P(u, v) = \{ k \mid pre(u, k) = suf(v, k) \}$

2. $LP(u, v) = \{ k \in P(u, v), k \geq \frac{|u|}{2}$

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定义：

周期：$\forall 0 \leq p < |s|$，如果 $\forall 1 \leq i \leq |s| - p$ 有 $s_i = s_{i + p}$，则称 $p$ 是字符串 $s$ 的一个周期。

border：若 $\forall 0 \leq r < |s|$，有 $pre(s, r) = suf(s, r)$，则称 $pre(s, r)$ 是 $s$ 的一个 border.

注意有时 border 的定义是 $pre(s, r)$ 的长度。

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border 和周期：

1. $pre(s, k)$ 是 $s$ 的 border $\Leftrightarrow$ $|s| - k$ 是 $s$ 的周期。

2. 若 $p, q$ 都是 $s$ 的周期，且 $p + q \leq |s|$，则 $\gcd(p, q)$ 也是 $s$ 的周期。

3. 若 $p, q$ 都是 $s$ 的周期，且 $p + q - \gcd(p, q) \leq |s|$，则 $\gcd(p, q)$ 也是 $s$ 的周期。

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字符串匹配：

1. 若字符串 $u, v$ 满足 $2 |u| \geq |v|$，则 $u$ 在 $v$ 中匹配的位置是一个公差为 $per(u)$ 的等差数列。此时 $v$ 是 $u$ 最小周期的重复。

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border 的结构：

1. 字符串 $s$ 的所有不短于 $\frac{|s|}{2}$ 的 border 长度构成等差数列。
   等价：本质不同的短于 $\frac{|s|}{2}$ 的 border 只有一个。

2. 将 $s$ 的 border 按长度划分成 $[2^i, 2^{i + 1} - 1), ..., [2^k, |s|)$ 等集合，则一个 border 集合可以表示成 $LP(pre(s, 2^i), suf(s, 2^i))$

3. $LP(u, v)$ 构成一个等差数列。

4. 推论：$s$ 的所有 border 排序后可以划分成 $O(\log |s|)$ 段，每段是一个等差数列。

这个可以推出 P4482 [BJWC2018]Border 的四种求法 的 $O(n \log n)$ 做法，非常强大。