【题解】AtCoder Beginner Contest 247 补题记录

AtCoder Beginner Contest 247

A Move Right

题意

给出一个长度为 $4$ 且由 0 和 1 组成的序列。现在将除最后一位外每个位置上的字符右移一位。求最终得到的序列（第一位视作 0）。

思路

模拟。

B Unique Nicknames

题意

有 $n$ 个人，每个人有其名 $s_i$ 和姓 $t_i$。尝试给每个人起一个昵称 $a_i$，使得 $\forall 1 \leq j \leq n$ 且 $i \neq j$，$a_i \neq s_j$ 且 $a_i \neq t_j$。问是否存在合法方案。

$2 \leq n \leq 100$

思路

模拟。

用 map 记录每个人的姓和名在所有姓名里的出现次数。显然当一个人的姓和名出现次数均大于 $2$ 时无解。注意特判一个人的姓名相同的情况。

C 1 2 1 3 1 2 1

题意

按以下方式定义序列 $S_n$：

• $S_1 = 1$

• $S_n = S_{n - 1}, n, S_{n - 1}, n \geq 2$

给定 $n$，输出 $S_n$

$1 \leq n \leq 16$

思路

$n \leq 16$，暴力递归模拟即可。

D Cylinder

给定 $Q$ 个操作，对于序列 $S$，每次操作可以：

$1$ 在 $S$ 末尾加入 $c$ 个 $x$

$2$ 取出 $S$ 开头的 $c$ 个元素，求它们的和。

数据保证对于操作 $2$，当时序列中的元素总数大于等于 $c$

$1 \leq Q \leq 2 \times 10^5$

$0 \leq x \leq 10^9$

$1 \leq c \leq 10^9$

思路

树状数组 + 二分。

考虑将每个操作 $1$ 视作一个元素，维护由这些元素组成的序列：

用两个树状数组分别维护序列中 $c$ 的前缀和 $tot$ 和 $c \times x$ 的前缀和 $sum$，同时用两个指针 $s, t$ 表示当前 $S$ 由 $[s, t]$ 中的元素组成。

对于操作 $1$，直接更改树状数组和指针。

对于操作 $2$，考虑在 $[s, t]$ 中二分出第一个位置 $l$，使得 $\sum\limits_{i = s}^l c_i \geq c$。此时分类讨论：

• $\sum\limits_{i = s}^l c_i = c$，直接树状数组求和。然后 $s = l + 1$

• $\sum\limits_{i = s}^l c_i > c$，此时前 $c$ 个元素和为 $\sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i \times x_i + (c - \sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i) \cdot x_l$。此时 $c_l \leftarrow c_l - (c - \sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i)$，相应地需要修改树状数组。

树状数组复杂度 $O(\log n)$，二分复杂度 $O(\log n)$，总时间复杂度 $O(Q \log^2 n)$

E Max Min

题意

给定一个长度为 $N$ 的序列 $A$ 和两个正整数 $X, Y$。试求出满足 $\forall L \leq i \leq R, \max(A_i) = X$ 且 $\min(A_i) = Y$ 的有序正整数对 $(L, R)$ 的个数。

$1 \leq N, A_i \leq 2 \times 10^5$

$1 \leq Y \leq X \leq 2 \times 10^5$

思路

ST表 + 二分。

考虑用 ST 表维护区间最值。枚举 $L$，用四次二分得到 $[L, N]$ 中：

• 第一个令 $\forall L \leq i \leq l_1, \max(A_i) = X$ 的位置 $l_1$

• 最后一个令 $\forall L \leq i \leq r_1, \max(A_i) = X$ 的位置 $r_1$

• 第一个令 $\forall L \leq i \leq l_1, \min(A_i) = Y$ 的位置 $l_2$

• 最后一个令 $\forall L \leq i \leq r_2, \min(A_i) = Y$ 的位置 $r_2$

显然 $[l_1, r_1]$ 和 $[l_2, r_2]$ 的交区间中，每一个下标都可以和 $L$ 构成一对满足条件的有序数对，直接统计答案。

ST表预处理复杂度 $O(n \log n)$，单次查询最值 $O(1)$，二分复杂度 $O(\log n)$，总时间复杂度 $O(n \log n)$

注意 $O(n \log^2 n)$ 的线段树做法会被卡（或许是因为我常数大？）

F Cards

题意

有 $n$ 张卡牌，第 $i$ 张卡牌正面的数字为 $P_i$，背面的数字为 $Q_i$，其中 $P_i, Q_i$ 均为 $1$ 到 $n$ 的排列。问有多少种方式，使得 $1$ 到 $n$ 中每个数字至少在一张卡牌的某一面中出现一次。

方案数对 $998244353$ 取模。

$1 \leq N \leq 2 \times 10^5$

$1 \leq P_i, Q_i \leq N$

思路

转化。

先考虑一个前置问题：若在 $1$ 到 $n$ 中，两个相邻数字至少要选一个，一共有多少种方案？

考虑令 $n$ 个数的方案总数为 $F(n)$。分类讨论：

• 若选 $n$，则方案数为 $F(n - 1)$

• 若不选 $n$，则必须选 $n - 1$，方案数为 $F(n - 2)$

显然 $F(1) = 1, F(2) = 3, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), n \geq 3$

回到问题。不妨构造一个包含 $n$ 个结点的图，并在 $P_i, Q_i$ 直接连边。显然图中每个结点的度数都是 $2$，因此这个图是由若干个环组成的。现在问题被转化成：求原图的边覆盖总数。

显然所有环都是等价的，因此考虑一个环的情况。令长度为 $m$ 的环的边覆盖总数为 $G(m)$。将环的结点依次标号为 $1$ 到 $m$，分类讨论：

• 1. 选择边 $(1, m)$。此时将除 $(1, m)$ 外的边依次标号为 $1, m - 1$，显然标号相邻的边至少要选择一条。方案总数为 $F(m - 1)$
• 2. 不选择边 $(1, m)$。此时边 $(m - 1, m)$ 和边 $(1, 2)$ 都必须被选择。同理，方案总数为 $F(m - 3)$

所以 $G(m) = F(m - 1) + F(m - 3)$

用 $F$ 表达 $G(m - 2), G(m - 1), G(m)$：

$$\begin{aligned} G(m - 2) &= F(m - 3) + F(m - 5) \\ G(m - 1) &= F(m - 2) + F(m - 4) \\ G(m) &= F(m - 1) + F(m - 3) \end{aligned}$$

又有

$$\begin{aligned} F(m - 1) = F(m - 2) + F(m - 3) \\ F(m - 3) = F(m - 4) + F(m - 5) \end{aligned}$$

所以 $G(m) = G(m - 1) + G(m - 2)$

手推可以发现 $G(1) = 1, G(2) = 3, G(m) = G(m - 1) + G(m - 2), m \geq 3$

最后所有环的 $G$ 值乘积就是答案。

时间复杂度 $O(n)$

G Dream Team

题意

有 $N$ 个人，第 $i$ 个人来自第 $A_i$ 所大学，擅长第 $B_i$ 门学科，权值为 $C_i$。定义 Dream Team 为若干个人的组合，满足：

• Dream Team 中的所有人来自不同的大学

• Dream Team 中所有人擅长的学科不同

设 Dream Team 最多有 $k$ 个人。试对于 $1 \leq i \leq k$，求包含 $i$ 个人的 Dream Team 的最大权值和。

$1 \leq N \leq 3 \times 10^4$

$1 \leq A_i, B_i \leq 150$

$1 \leq C_i \leq 10^9$

思路

费用流。

考虑新建两个起点 $s1, s2$ 和汇点 $t$，将每所大学和每个学科分别视作一个结点。

在 $A_i, B_i$ 之间连接一条容量为 $1$，费用为 $C_i$ 的边。

在 $s2, A_i$ 之间连一条容量为 $1$，费用为 $0$ 的边。

在 $B_i, t$ 之间连一条容量为 $1$，费用为 $0$ 的边。

枚举最大人数 $k$。每次在 $s1, s2$ 之间连接一条容量为 $1$，费用为 $0$ 的边，表示尝试增加 $1$ 个人。如果增广的流量为 $0$，说明此时已经得到最大人数，退出；反之，此时增广该流量的最大费用就是加入的人的权值，求前缀和即可。

显然 $k \leq 150$，时间复杂度是 O(能过)