7-1 最大子列和问题 （20分）
7-1 最大子列和问题 （20分）
给定\(K\)个整数组成的序列\({N_1, N_2, ..., N_K}\)，“连续子列”被定义为\({ N_i, N_{i+1}, ..., N_j}\)，其中\(1≤i≤j≤K\)。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。
本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：102个随机整数；
数据3：103个随机整数；
数据4：104个随机整数；
数据5：105个随机整数；
输入格式:
输入第1行给出正整数\(K (≤100000)\)；第2行给出\(K\)个整数，其间以空格分隔。
输出格式:
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
输入样例:
6
-2 11 -4 13 -5 -2
输出样例:
20
思路
这是一道动态规划的题目。
先来个dp数组，是一维的还是二维的？
首先，不读完整个序列，无法确定连续最大子列。
- 尝试递归
在读入第i个数，就确定了，直到i的连续最大子列，和也知道。
那么读入第i+1个数。既然是最大，那么负数一定要排除。所以第i个数若是负数（情况1），此时必定不是最大子列的元素。
第i个数若是正数，也不一定是最大子列的元素，因为可能，最大子列吸收它的代价太高。
看第i+1个数，（情况1），如果能够补偿i的损失。
（情况2），能够弥补吸收的代价。
失败。 - 尝试递推
这里的底层元素，显然就是每一个数本身。
性质分类就是 + - 。
如果i以后的数和为正，那么最大子列会吸收后续所有
最大连续子列
9:15 2019/1/23 第二天思考。
dp数组应该是一维的。
对dp[i]先做初始化，在开头遇到的负数，其dp都为0
遇到第一个正数，及之后的所有数，dp为其本身。
/*这是主要方程，但不是全部*/
dp[i] = dp[i+1]+a[i];
10:34 2019/1/23 成功AC，对状态转移方程做了详细的定义。
分析了4种情况。我的想法是让人“未卜先知”，或者说是看到未来，所以是从最后一位数的dp来思考的。dp记录的是最大连续子列吸收该数的后果。要做到这一点，必须已经读入整个序列，从最后一个数开始考虑。因为随着后续数的不同，对某个数吸收与否的命运会改变。
如果已经知道吸收一个数的后果，就可以判断是否应该吸收了。
同时，吸收该数，希望吸收最小的坏后果，所以要对(a[i]>0 && dp[i+1]<0)特判，这种情况下，最优策略是仅仅吸收该整数本身。
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(void){
int n,i=0,sum=0;
cin>>n;
vector<int> dp(n),a(n);
/*初始化dp数组*/
bool flag = false;/*代表遇到正数以后*/
while(cin>>a[i]){/*调试时，需要ctrl+z*/
if(a[i]>0){
flag =true;
dp[i] = a[i];
}
else if(flag){
dp[i] = a[i];
}
else{
dp[i] = 0;
}
i++;
}
// for(int i =0;i<n;i++){
// cout<<a[i]<<endl;
// cout<<dp[i]<<endl;
// }
/*成功读入*/
/*状态转移方程*/
for(int i=n-2;i>=0;i--){
if(a[i]>0 && dp[i+1]<0){
continue;
}
else
dp[i] = dp[i+1] + a[i];
}
cout<<dp[0];
return 0;
}
参考胡凡的书，这里对状态转移方程可以优化一波。
for(int i=n-2;i>=0;i--){
dp[i] = max(a[i],dp[i+1] + a[i]);
}
我的状态转移方程也是满足无后效性的。
从头开始的动态规划，就是定义了dp数组元素dp[i]为以a[i]结尾的连续子列最大和。
dp[i] = max(a[i],dp[i-1] + a[i]);
对最大和条件做了弱化，或者说是定义修改。
接着找出，这些和中值最大的那一个。
