【三维重建系列】相机模型部分公式详解记录

1|0相机模型P矩阵

公式：

P = K R [I | - C^{∽}]

$P = KR[I | -C^{\backsim}]$

其中 $C^{\backsim}$ 表示平移矩阵为齐次坐标即世界坐标系原点到相机坐标系原点的距离 $R$ 同样表达的也是这个关系。

也写成这种形式：

P = M [I | M^{- 1} p_{4}]

$P = M[I | M^{-1}p_4]$

其中 $M = KR$ ， $p_4$ 为P的第四列
如果 $M$ 矩阵不可逆时为无穷远相机
原文对相机中心点坐标的描述：

2|0相机模型P矩阵分解

2|1行向量

P = [\begin{matrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \\ p_{41} & p_{42} & p_{43} & p_{44} \end{matrix}] = [\begin{matrix} P^{1 T} \\ P^{2 T} \\ P^{3 T} \end{matrix}]

$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \\ p_{41} & p_{42} & p_{43} & p_{44} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P^{1T} \\ P^{2T} \\ P^{3T} \\ \end{bmatrix}$

$P^{3T}$ 为主平面通过相机光心点并且平行于相机成像平面 $P^{2T}$ 通过相机光心点和成像平面的X轴另一个同理

2|2列向量

P = [\begin{matrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \\ p_{41} & p_{42} & p_{43} & p_{44} \end{matrix}] = [\begin{matrix} P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} \end{matrix}]

$P_{1}$ 为世界坐标系X轴的消影点 x轴方向为 $D = (1, 0, 0, 0)^T$ 所以 $P_{1} = PD$
同理 $P_{2}$ 为世界坐标系Y轴的消影点
$P_{3}$ 为世界坐标系Z轴的消影点
$P_{4}$ 为世界坐标系原点的图像点 $P_{4} = P(0, 0, 0, 1)^T$

3|0消影点投影

设消影点的齐次坐标为 $D = (d^T, 0)$ 则消影点映射到成像平面的公式为：

x = P D = [M | p_{4}] D

$x = PD = [M | p_4]D$

但是此时D的最后一维为0 所以 $p_4$ 相当于没有计算（很容易推）所以结果为：

x = M d

$x = Md$

可见消影点投影只与M有关与相机的位置无关

4|0点的深度问题

x = ω (x, y, 1)^{T} = P X

$x = \omega(x, y, 1)^T = PX$

$\omega$ 其实为三维点原深度也可以解释为从相机中心到三维空间点的射线与主轴方向的点积。 $(x, y, 1)$ 在第三维只有深度的体现所以可以单独求出深度：

ω = P^{3 T} X = P^{3 T} (X - C) = m^{3 T} (X^{∽} - C^{∽})

$\omega = P^{3T}X = P^{3T}(X - C) = m^{3T}(X^{\backsim} - C^{\backsim})$

其中C为相机中心 PC = 0 所以随便加
另外从齐次到非齐次丢掉了最后一个维度所以P相应也舍去最后一个维度又因为前面是 $M[I | t]$ 最后一个维度t干掉后只剩 $M * I$ 所以等于M矩阵的第三行即 $m^{3T}$

5|0主点与主轴方向

主轴即通过相机光心并且垂直于主平面的轴主轴和成像平面的交点称为主点
已知主平面和主平面的法向量讲主平面的法向量写成无穷远点的形式：

(p_{31}, p_{32}, p_{33}, 0)

$(p_{31}, p_{32}, p_{33}, 0)$

经过相机的任何一条射线与像平面的交点可以表示为： $PD$ 这个也等价于这个点的无穷远点在像平面的投影 P是3 * 4 D要求是 4 * 1嘛最后一维就是0 已知三维点非齐次坐标变成无穷远点的齐次坐标只需在最后一维添加0即可

所以主点即为主平面的法向量的无穷远点形式在像平面的投影

P_{m a i n} = P P_{i n f i n e} = [M | p_{4}] P_{i n f i n e}

$P_{main} = PP_{infine} = [M | p_4]P_{infine}$

然后干掉第四维和上面的消影点投影那里一样 $p_4$ 就不参与运算了：

P_{m a i n} = M P_{i n f i n e} = M m^{3 T}

$P_{main} = M P_{infine} = Mm^{3T}$

等于M和他自己的第三行相乘此处很容易推导顺出来其中 $m^{3T}$ 被称为主轴方向

6|0对极线区分有限相机和无穷远相机

有限相机的所有对极线都会相交于一点这一点即一个相机的光心在另一个相机的像平面成像的位置。
对于无穷远相机的话主平面即无穷远平面所有的对极线也相交但是交点在无穷远平面即相交于无穷远点所以对极线是平行的。

7|0根据相机参数计算相机内参

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本文作者：铃灵狗的水墨书香
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