【SLAM基础】【矩阵】矩阵基础相关概念总结

1|0矩阵相关概念

1|1线性相关与线性无关

$$c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_nu_n = 0$$

其中可以有这样一组解：

$$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$$

若只有这样一种解 则认为 $u_1, u_2, ... ,u_n$ 线性无关
若有0以外的解 则认为线性相关

1|2奇异矩阵

$$Ax = 0$$

等价于

$$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$$

其中A等于 $[a_1, ... , a_n]$ 若只有0解 则 $a_1, ..., a_n$ 线性无关 此时A为非奇异矩阵
若有除0以外的解 A是奇异矩阵

1|3范数

向量范数：描述向量的长度
对向量求范数

$$||X||_2$$

X为向量 它等于每一项的平方求和再开根号
矩阵范数：描述矩阵的大小

$$||A||_2$$

也是矩阵中的每一项的平方求和再开根号

1|4行列式

$$det(A) = |A|$$

行列式不等于0的矩阵称为非奇异矩阵
行列式不等于0的矩阵才有逆矩阵
行列式不等于0称为满秩

1|5特征值

$$Lu = \lambda u$$

若能找到非零解 则 $u$ 为 $\lambda$ 对应的特征向量
$\lambda$ 为特征值
$u$ 的大小为 $n * 1$
可以求出很多特征值
若 $L$ 有一个特征值为0 则 $L$ 一定是奇异矩阵
奇异的非零矩阵一定存在非零的特征值

1|6矩阵的迹

$$tr(A)$$

矩阵的迹等于矩阵所有对角元素（从左上角到右下角对角线上的元素）之和

1|7矩阵的秩

$$rank(A)$$

$A_{mn}$ 的秩定义为该矩阵中线性无关的行或列的数目 线性无关的行和列的数目相同

1|8欠定与超定

欠定方程：方程个数小于未知参数个数
欠定方程特点：无法求出唯一解

超定方程：方程个数大于未知参数个数
超定方程特点：无法求出满足全部方程的精确解

1|9单位矩阵

对角线上元素均为1 其他元素均为0的矩阵 记为 $I$ 或者 $E$

1|10逆矩阵

若满足以下性质：

$$BA = AB = I$$

则 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵 记为 $A^{-1}$

1|11正交矩阵

若满足一下性质

$$AA^T = I$$

则矩阵 $A$ 为正交矩阵
正交矩阵的自由度为 $n^2 - n$

1|12矩阵自由度

若 $A_{m * n}$ 为普通矩阵 通过改变每个元素可以生成新的 $m*n$ 个新矩阵 则矩阵 $A$ 的自由度为 $m*n$

1|13对角矩阵

除了对角线上的元素 其他元素均为零 记为 $diag(x_1, ... , x_n)$

1|14奇异值分解

对于任意矩阵 $A$
存在正交矩阵 $U$ 和 $V$
使得

$$A = U\Sigma V^T$$

其中 $\Sigma =\begin{bmatrix} \Sigma_1 & O \\ O & O \\ \end{bmatrix}$
且$\Sigma_1 =diag(\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_r)$
且$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_r > 0$
其中 $r = rank(A)$
$O$ 为零矩阵 全部元素都为零的矩阵

__EOF__

本文作者：铃灵狗的水墨书香
本文链接：https://www.cnblogs.com/linglingdog/p/15906581.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！