【SLAM基础】【矩阵】矩阵基础相关概念总结

矩阵相关概念

线性相关与线性无关

\[c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_nu_n = 0 \]

其中可以有这样一组解：

\[c_1 = c_2 = ... = c_n = 0 \]

若只有这样一种解 则认为 \(u_1, u_2, ... ,u_n\) 线性无关
若有0以外的解 则认为线性相关

奇异矩阵

\[Ax = 0 \]

等价于

\[a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0 \]

其中A等于 \([a_1, ... , a_n]\) 若只有0解 则 \(a_1, ..., a_n\) 线性无关 此时A为非奇异矩阵
若有除0以外的解 A是奇异矩阵

范数

向量范数：描述向量的长度
对向量求范数

\[||X||_2 \]

X为向量 它等于每一项的平方求和再开根号
矩阵范数：描述矩阵的大小

\[||A||_2 \]

也是矩阵中的每一项的平方求和再开根号

行列式

\[det(A) = |A| \]

行列式不等于0的矩阵称为非奇异矩阵
行列式不等于0的矩阵才有逆矩阵
行列式不等于0称为满秩

特征值

\[Lu = \lambda u \]

若能找到非零解 则 \(u\) 为 \(\lambda\) 对应的特征向量
\(\lambda\) 为特征值
\(u\) 的大小为 \(n * 1\)
可以求出很多特征值
若 \(L\) 有一个特征值为0 则 \(L\) 一定是奇异矩阵
奇异的非零矩阵一定存在非零的特征值

矩阵的迹

\[tr(A) \]

矩阵的迹等于矩阵所有对角元素（从左上角到右下角对角线上的元素）之和

矩阵的秩

\[rank(A) \]

\(A_{mn}\) 的秩定义为该矩阵中线性无关的行或列的数目 线性无关的行和列的数目相同

欠定与超定

欠定方程：方程个数小于未知参数个数
欠定方程特点：无法求出唯一解

超定方程：方程个数大于未知参数个数
超定方程特点：无法求出满足全部方程的精确解

单位矩阵

对角线上元素均为1 其他元素均为0的矩阵 记为 \(I\) 或者 \(E\)

逆矩阵

若满足以下性质：

\[BA = AB = I \]

则 \(B\) 称为 \(A\) 的逆矩阵 记为 \(A^{-1}\)

正交矩阵

若满足一下性质

\[AA^T = I \]

则矩阵 \(A\) 为正交矩阵
正交矩阵的自由度为 \(n^2 - n\)

矩阵自由度

若 \(A_{m * n}\) 为普通矩阵 通过改变每个元素可以生成新的 \(m*n\) 个新矩阵 则矩阵 \(A\) 的自由度为 \(m*n\)

对角矩阵

除了对角线上的元素 其他元素均为零 记为 \(diag(x_1, ... , x_n)\)

奇异值分解

对于任意矩阵 \(A\)
存在正交矩阵 \(U\) 和 \(V\)
使得

\[A = U\Sigma V^T \]

其中 \(\Sigma =\begin{bmatrix} \Sigma_1 & O \\ O & O \\ \end{bmatrix}\)
且\(\Sigma_1 =diag(\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_r)\)
且\(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_r > 0\)
其中 \(r = rank(A)\)
\(O\) 为零矩阵 全部元素都为零的矩阵