Exhausted? 题解（线段树）

Exhausted? 题解

前言：

看本篇题解，您如果想要掌握所有知识点的话，请您先去了解下什么是霍尔定理，当然如果可以的话，可以去看看我的这个博客。

涉及的算法和思想知识点：

1. 线段树、扫描线。
2. 霍尔定理。
3. 较少的容斥原理。

正文：

理论分析：

1. 从简单入手：我们想想，要是值域再小一点的话，我们可以怎么做？我的想法是直接把人和合理的区间各个位置连边，形成一个二分图，求解最大匹配找到最多的能不添加椅子就可以做的人，然后用总共的减去就是最小的了。

2. 思维拔升：我们发现不可以建立图时，不然就是算法有问题不然就是要用各种理论来简化，对于二分图而言，一般建不了图，就是霍尔定理。我们将人看做 $V1$，根据定理，那么我们就是求解 $max(|S1|-|S2|)$ 这个柿子。

3. 举例化简：现在我们随便选择两个点作为 $S1$ 那么就是求解他们 $S2$ 的并。我们稍微容斥一下，变为求解两个点区间的补集的交集的补集。这么说很混乱，我直接举例子吧，就是求 $[L1+1,R1-1]$ 和 $[L2+1,R2-1]$ 的交集的补集。我们用柿子表达，就是求 $max(|S1|-m+R-L+1)$。注意下，要是没有交集，答案就是 $n-m$，所以答案至少为它。

4. 思考解决最值的方向：我们为了让上述柿子最大，像这种题目不然就是贪心，不然就是找函数最值，不然就是硬着头皮想方法维护。贪心的话我实在想不出来，用函数的话，我们会发现我们点选得越多，$R-L+1$ 却不会变长。两者是“你增加我可能减少”的关系，所以从函数本身来看似乎就不行了。那就只能硬着头皮去维护这个柿子了。

代码实现思路（重点）：

因为我觉得维护很难想到，所以专门开了个重点来。

考虑到一个交集的左端点一定是一个原来的左端点之一，右端点同理。于是我现在想找一个左端点确定的交集查找答案（通过枚举线段来确定）。

当这个交集的左端点确定时，我选择的点只能是左端点在它左侧，右端点在他右侧的线段（否则的话交集左端点会变化或者不会有交集）。由于左端点确定，我们假设已经确定这个交集的右端点为 $K$，于是乎我们就可以得到这个交集 $[L,K]$ 给出的最终答案为 $|S1|-m+K-L+1$。我们此时还可以扩展 $|S1|$ 让答案更优，这些可以添加的点要求其左右端点不会更改交集即可。

所以最后就是

$K-L-1-m+\sum _j[rj>=k],[lj<=L]$。

具体做法是在线段树上把i位置的初值设为i，然后每次将 $[l,r]$ 区间+1，求$[l,m]$ 的最大值。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int le;
	int ri;
}stu[200005]; 
bool cmp(node x,node y){
	if(x.le!=y.le)return x.le<y.le;
	else  return x.ri<y.ri;
}
int ans=0;
struct nod{
	int le;
	int ri;
	int val; 
	int lz;
}tree[800005];
vector<int>h[200005];
void pushup(int rt){
	tree[rt].val=max(tree[rt*2].val,tree[rt*2+1].val);
}
void pushdown(int rt){
	if(!tree[rt].lz){
		return;
	}
	tree[rt*2].lz+=tree[rt].lz;
	tree[rt*2+1].lz+=tree[rt].lz;
	tree[rt*2].val+=tree[rt].lz;
	tree[rt*2+1].val+=tree[rt].lz;
	tree[rt].lz=0;
	return;
}
void build(int rt,int L,int R){
	tree[rt].le=L;
	tree[rt].ri=R;
	if(L==R){
		tree[rt].val=L;
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1;
	build(rt*2,L,mid);
	build(rt*2+1,mid+1,R);
	pushup(rt);
}
void add(int rt,int L,int R,int v){
	int le=tree[rt].le;
	int ri=tree[rt].ri;
	if(le>=L&&ri<=R){
		tree[rt].val+=v;
		tree[rt].lz+=v;
		return;
	}
	if(le>R||ri<L){
		return;
	}
	pushdown(rt);
	add(rt*2,L,R,v);
	add(rt*2+1,L,R,v);
	pushup(rt);
}
int get(int rt,int L,int R){
	int le=tree[rt].le;
	int ri=tree[rt].ri;
	if(le>=L&&ri<=R){
		return tree[rt].val;
	} 
	if(le>R||ri<L){
		return 0;
	}
	pushdown(rt);
	int ret=0;
	ret=max(ret,get(rt*2,L,R));	
	ret=max(ret,get(rt*2+1,L,R));
	pushup(rt);
	return ret;	
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	cin >>n >>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> stu[i].le>>stu[i].ri;
		h[stu[i].le].push_back(stu[i].ri);
	}
	ans=max(0,n-m);
	build(1,0,m+1);
	for(int i=0;i<=m+1;i++){
		for(int j=0;j<h[i].size();j++){
			int to=h[i][j];
			add(1,0,to,1);
		}
		ans=max(ans,get(1,i+1,m+1)-i-m-1);
	}
	cout<<ans;
	
}