线性基（异或）

线性基

目录

• 线性基
  • 定义：
    • 线性相关和线性无关
    • 基
  • 线性基的维护
    • 基本操作
    • 在线段树分治中的维护
  • 线性基的应用（代码模板在此）
    • 分析：
    • 代码：

注：常用于异或

定义：

线性相关和线性无关

平面向量基本定理：平面上两个不共线向量可以表示出该平面上任意一个向量
这个定理可以拓展到n维
有了这个，就能轻松理解下面的概念了。
线性相关：假设我有k个向量,如果这k个向量中，任意一个向量能被其他向量表示出来，那么就线性相关。
线性无关：k个向量中，任意一个无法用其他的来表示，那么就线性无关。、

基

基：在V中找一个最大的线性无关向量组，其大小称为V的维数，记作dimV。这组向量也叫做V的一组基。
换句话说，利用一个基中的向量，可以表示出V中的任意向量

线性基的维护

基本操作

相当于动态地维护行（简化）阶梯形矩阵
维护的时候想象向量组排成一个阶梯矩阵
核心是每一个位都关联一个向量，这个向量的最高位恰好是该位
比方说现在插入一个向量x，先看最高位是否在已有的线性基中出现过，如果出现过一个y，x和y有相同的最高位，
那么x^=y，x的最高位就变低了，继续在线性基中找，直到找不到有相同的最高位，
那么让x的最高位和x关联，如果x被异或到0了就说明x能被线性基中的元素线性表出

在线段树分治中的维护

线性基不好删除，对于只能加不能删的我们可以考虑如何撤销（也好撤销），然后线段树分治

线性基的应用（代码模板在此）

https://www.luogu.com.cn/problem/P3812

分析：

最大异或和，给定一个集合，找一个子集使得异或和最大
把数写成二进制，拆成向量
异或相当于mod2加法，维护模2意义下的线性基
从高位起，依次考虑线性基（阶梯矩阵）的每一个分量，若异或上能让答案更大就异或上。

代码：

注释：代码里面的cmp其实并不需要

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int p[64];
int a[105];
bool cmp(int x,int y){
	return x>y;
}
void insert(int x){
	for(int i=61;i>=0;i--){
		if(((1<<i)>x)||(!(x>>i))){
			continue;
		}
		if(!p[i]){
			p[i]=x;
			break;
		}
		x^=p[i];
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i];
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		insert(a[i]);
	}
	int ans = 0;
  	for (int i = 61; ~i; --i) {
    	ans=max(ans, ans^p[i]);
  	}
  	cout<<ans;
  	return 0;
	
}