最短路应用复习

最短路应用复习笔记

目录

• 最短路应用复习笔记
  • 最短路树
  • 同余最短路
  • 差分约束

最短路树

比较简单，主要可用于判断某边或者某点是否在最短路上
方法是从开始点dj一次，从末尾也dj一次，然后利用等式关系判断即可

同余最短路

这个算是我很不理解的一个吧
说是实际上是对完全背包的一种优化（优化空间）
基本上就是这个模板：给出若干个数，每个数的个数有无限个，求这些数加起来可以由多少个不同的数（sums/莫莫的不等式这些题）
注意点：0的情况

用这一道题来说明比较简单：https://www.luogu.com.cn/problem/P3403
假设 a<b<c ，则对于每一个 i∈[1,n] ,都可以表示成 i=ax+k，其中，a 是除数，x 是商，k 是余数。
当k不等于0时，必须要使用b,c这两个才能凑出来。
同时，这个余数我也可以只通过b,c的累加就凑出来

假设此时我余数已经凑出来一个i了，那么我要是累加一个b能到j余数时，就存在(i+b)%a=j
此时，抽象一下，就可以说是从余数i到j有一个长度为b的边
那么，在这个图上跑最短路到k，就表示得到余数k的最短路径。
但是我用的%数来表示，在一个%数下可能存在很多个满足的数
这个数就是：
ans=∑（k=0~a−1） (h−disk)/a +1(h是枚举上界）

为什么是这个公式呢：首先，我跑了最短路，那么，disk肯定是凑出一个最小的数x满足x%a=k.
用h-disk表示剩下的区间，这剩下的区间中，我不断加a,还是能保证moda=k数不变，而我加的次数就是(h-disk)/a;
加1则是加上本身这一次

然后我把所有可能的mod数的所有情况加起来就是整体的答案了！

AC重要代码：https://www.luogu.com.cn/record/116659804
弄懂就好了！

void dj(int s){
	memset(dis, 0x3f3f, sizeof dis);
	dis[s%x]=1;
	q.push((pr){1,s});
	while(q.size()){
		pr tmp=q.top();
		q.pop();
		int u=tmp.id;
		if(!vis[u]){
			vis[u]=1;
			int to1=(u+y)%x;
			int to2=(u+z)%x;
			if(dis[to1]>dis[u]+y){
				dis[to1]=dis[u]+y;
				q.push((pr){dis[to1],to1});
			}
			if(dis[to2]>dis[u]+z){
				dis[to2]=dis[u]+z;
				q.push((pr){dis[to2],to2});
			}
		}
	}
	
}

差分约束

具体在另一篇博客有说，点击跳转：https://www.cnblogs.com/linghusama/p/17542288.html