算法与思想——二分查找与二分答案

算法与思想——二分查找与二分答案

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目录

• 算法与思想——二分查找与二分答案
  • 一、二分算法-----log2n速度
    • 1.二分前提：有序的数列，，整体成升序或降序，可以中间有相等的数值。
    • 2.二分写法：定义寻找的头和尾，以及中间的量，不断迭代找出最终答案；
    • 3.二分的快速用法
  • 二、二分答案
    • 二分答案的思想
    • 二分答案的技巧
      • 切木头
    • ** 最重要的一点**

一、二分算法-----log2n速度

1.二分前提：有序的数列，，整体成升序或降序，可以中间有相等的数值。

2.二分写法：定义寻找的头和尾，以及中间的量，不断迭代找出最终答案；

代码如下

int Binary_Search(int a[], int n, int key)
{
    int low, high, mid;
    low = 1;     /*定义最底下标为记录首位*/
    high = n;    /*定义最高下标为记录末位*/
    while (low <= high)
    {
        mid = (low + high) / 2;    /*折半*/
        if (key < a[mid])
            high = mid - 1;
        else if (key > a[mid])
            low = mid + 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1; // 没找到  
}

3.二分的快速用法

1.upper_bound: upper_bound(begin,end,num) 会从数组的 begin 位置到 end−1 位置二分查找第一个大于 num 的数字。
注意：这个返回值是地址，若是要找到这个a[pos],则，pos为upperbound减去寻找的数组：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int num[6]={1,2,4,7,15,34}; 
    sort(num, num + 6);                           //按从小到大排序 
    int pos = upper_bound(num, num + 6, 7) - num;    //返回数组中第一个大于被查数的值 
    cout << pos << " " << num[pos] << endl;
    return 0;    
}

注意，若是找不到，则会返回end。

二、二分答案

二分答案的思想

二分答案就是对最终答案的值进行二分，具体做法就是每次取一个中间答案，把答案作为已知条件， 判断根据当前答案是否满足题意， 根据判断结果再将区间缩小。**

写法和二分查找基本相同， 只不过要判断的东西比较复杂， 一般写法是通过写一个 check 函数来实现。

二分答案的技巧

二分答案通常是在寻找“合法”与“不合法”的边界，进一步说，是在寻找“刚好合法”的那个位置。
说白了，就是看这个答案会怎么影响已知量，已知量会偏大吗还是会偏小，从而确定这个答案怎么样

二分离不开单调性，我们做这类题目最重要的就是要找到题目中的某个与“合法性”有单调关系的量。(意思同上）

单调关系通常可以表现为： A 越大，越合法， A 越小，越不合法。在题目中总结出这种单调关系，十分有助于进一步思考。
上题目来康康，最简单的：

切木头

有n个木棍，长度不等，现在要将他们切成同等长度的木棍m个，并且每段的长度都为整数。问这m根木棍最长能有多长？

如果分不出来，输出0。

输入格式
第一行2个数：n, m中间用空格分隔(1 <= n <= 100000, 1 <= m <= 10^9) 后面n行：每行1个数，对应木棍的长度(1 <= Li <= 10^9)。
输出格式
输出一个整数，对应木棍的长度。
输入样例
3 10
15
25
12
输出样例
5

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long a[100005];
long long m;
long long head=0;
long long ed=INT_MIN;
long long find(long long x){
	long long cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cnt+=a[i]/x;
	}
	return cnt;
}
int main(){//若ans太大，则m偏小，ans小则m偏大，
//要找m刚刚好的ans最大值 ,这就是单调性
	cin >> n>> m;
	if(n==m&&n==1){
		cout<<"1";
		return 0;
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		ed=max(ed,a[i]);
	}
	if(ed==0){
		cout<<0;
		return 0;
	} 
	if(m==1){
		cout<<ed;
		return 0;
	}
	//end不可能超过最大的a[i]，否则一段也切不出来. 
	while(head+1<ed){//加一保证找的全
		long long mid=(head+ed)/2;
		long long mfind=find(mid);
		if(mfind>=m){
			head=mid;//因为找的是最大的满足值，
			//所以偏小的不管是否刚好为m,都应该
			//继续增大可能ans,
		}
		else{
			ed=mid;
		}
	}
	cout<<head;
}

** 最重要的一点**

1.看找的是最大值还是最小值，从而确定二分答案中=和>放在一起还是和<放在一起
2.为了保证搜索充分，head与end要在写二分答案之前找初始值（head=min-1;end=max+1），同时head+1<end才保证能顾到所有结果。