Codeforces Round 994 (Div. 2)

Codeforces Round 994 (Div. 2)

A

首先答案小于等于 $2$。因为对所有数取一次 mex 后，再对得到的数取一次 mex，就得到一个 $0$。

考虑什么时候答案为 $0$，当且仅当所有数为 $0$。

什么时候答案为 $1$，数组中前缀是 $0$，后缀是 $0$，中间是一段非 $0$。

其他情况都是 $2$。

提交 297474064

B

如果存在某个 p 在 s 前面，显然无解。因为 $1$ 不可能放到一个合理的位置。

那么考虑最左边的 p（设下标为 $P$）和最右边的 s（设下标为 $S$），字符串形式如下：

s.s.s.sss....s.....p.p..p.p...p.pp
             ^     ^

不难发现对于这两个 s...p，p 要求 $1\sim P$ 出现在 $[1, P]$，而 s 要求 $1\sim n-S +1$ 出现在 $[S, n]$，那么 $1\sim \min(P, n-S+1)$ 就要出现在 $[S, P]$ 中间。

$1\sim \min(P, n-S+1)$ 有 $\min(P, n-S+1)$ 个数，$[S, P]$ 有 $P-S+1$ 个位置。

• 若 $P < n - S + 1$，那么要求 $P \le P - S + 1$，即 $S= 1$。
• 若 $P>n - S + 1$，那么要求 $n-S+1\le P-S+1$，即 $n=P$。

所以最后的条件就是 $S= 1 \or n= P$，否则无解。

提交 297474190

C

考虑偶数时，显然有构造 $0,1,0,1,\cdots,0,1$。如果 $(x, y)$ 连接了 $(0, 1)$，对这个原构造没有影响。如果 $(x, y)$ 连接了 $(1, 1)$，可以让其中一个 $1$ 改为 $2$。如果连接了 $(0, 0)$，我们可以将构造循环移位一位，就是连接 $(1, 1)$ 了。

奇数时，有构造 $2,0,1,0,1,\cdots,0,1$。不难发现，我们通过循环移位，一定可以把 $(x, y)$ 变成连接了 $(2, 1)$ 或 $(2, 0)$，这两种情况都对原构造没影响。所以奇数只需要循环移位就可以得到合法构造了。

提交 297489003

事实上，这题有一个更强的构造。我们可以对于任意图都构造出一种合法的填数方案。

具体做法是，按照任意顺序填数，填的时候就填「相邻的、已经填过的」节点的 $\operatorname{mex}$ 即可。

首先这个构造对于当前节点是合法的，其次对于其他已经填好的节点是没影响的，经过有穷步我们可以填完所有节点。

此方法是从 StarSilk 听来的。

D

考虑 dp。设 f[i][j][k] 表示「走到格子 $(i, j)$，当前行（第 $i$ 行）循环左移了 $k$ 位」的最小花费。

主动转移有点困难，主要是 f[i][j][k] -> f[i+1][j][k']。这里的 $k'$ 可以有 $m$ 种取值，3D/1D 时间复杂度不对。

考虑被动转移。f[i][j][k] <- f[i][j - 1][k]，这个显然。f[i][j][k] <- min(f[i - 1][j][k'])，这个可以预处理，设

$$g_{i, j} = \min_{k=0}^{m-1} f_{i, j,k}$$

于是转移是 $O(1)$ 的，时间复杂度 $O(nm^2)$。

提交 297515524

E

考虑用异或的性质：$x\oplus x = 0$。并且我们知道，一次询问的答案是 $(\mathrm{len}\ge k)\oplus (1 \text{ is in interval})$。

于是考虑这个表达式 $\operatorname{ask}(1, n / 4) \oplus \operatorname{ask}(n / 4 + 1, n / 2)=(1\text{ is in }(1, n/4))\oplus(1\text{ is in }(n/4+1, n/2))$。这个表达式为真当且仅当 $1$ 在区间 $[1, n / 2]$。

于是花费两次询问，我们知道 $1$ 在 $[1, n / 2]$ 还是 $(n / 2, n]$。不妨设 $1$ 在 $[1, n / 2]$。

接下来询问 $\operatorname{ask}(n / 2 + 1, n)$，这个表达式的值可以告诉我们 $n/2\ge k$ 是否为真。

1. 若 $k>n/2$，那么我们令接下来的所有询问区间覆盖 $[1, n / 2]$，询问的答案就是 $(\mathrm{len}\ge k)\oplus 1$ 了，我们可以二分得到 $k$ 的值。
2. 若 $k\le n/2$，那么我们令接下来的所有询问区间都不覆盖 $[1, n / 2]$，询问的答案就是 $\mathrm{len}\ge k$ 了，我们可以二分得到 $k$ 的值。

提交 297544693

F

没看。

就到这。