Codeforces Round 963 (Div. 2) 题解

Codeforces Round 963 (Div. 2)

A

对 A, B, C, D 的数量和 $n$ 取个 $\min$ 相加

B

只有奇数或只有偶数答案为 $0$，否则，只能把所有的偶数改为奇数，因为不可能把所有奇数改为偶数。

然后就是改的大小问题了。考虑找到最大的奇数，然后把偶数从小到大依次修改。

C

显然对 $2k$ 考虑同余就好了，因为循环节长度是 $2k$ 的。

然后变成一个长度为 $2k$ 的数轴，求若干个区间的交集。

分成两种区间，一种是包左右两头的，一种是包中间的。

由于这两种区间的交集最多只会有两个区间，直接维护这两个区间就好了。

D

直接 dp，设 f[i][j] 表示考虑前 $i$ 个数，保留 $\le j$ 的数，最少保留几个，显然 f[n][j] = (n + 1) / 2 的最大 $j$ 就是答案了。不难注意到这个东西第二维是单调的，考虑二分这个 $j$，然后去 dp。

E

假设只考虑对一列 $j$ 进行修改的操作，可以发现相当于把 $f(1), f(2), \cdots, f(n)$ 覆盖掉第 $j$ 列。覆盖之后，新的 $f'(1), f'(2), \cdots, f'(n)$ 居然就是原来的第 $j$ 列。

这不是相当于，把 $f(1), f(2), \cdots, f(n)$ 看作第 $0$ 列，然后交换第 $0$ 和第 $j$ 列么。

不过 $g(j)$ 被改变了，这个操作不能这么单纯地被描述。但是一看就会发现 $g(j)$ 变成了所有数的异或和，于是不难想到，定义第 $0$ 行和第 $0$ 列，$a_{0, 0}$ 就是所有数的异或和，$a_{i, 0} = f(i), a_{0, j} = g(j)$，于是操作变成交换第 $0$ 行和第 $i$ 行或交换第 $0$ 列和第 $j$ 列。

推广一下，其实就是交换任意两行和任意两列，然后让差值和最小。

那就是给行决定一个排列，列决定一个排列，然后让差值和最小。这时候行、列是独立的。

当题意能简化成简单的一句话时，说明我们建立的模型很对啊！

显然可以求出第 $i$ 行和第 $j$ 行的差值，把这个看作边权，变成找到一个最短哈密顿路径。

这个问题我没那么熟悉，思考一下直接状压就能 $O(n^2 2^n)$ 做完？

F

略微彰显智慧了，反射这个确实应该想到。

如果机器人不遵守边界限制，那么当其在坐标 $(x, y)$ 且满足 $x$ 是 $2W$ 的倍数，$y$ 是 $2H$ 的倍数时，机器人回到了原点。

于是变成给你操作序列，统计何时满足上面的条件。

如果是 F1 的话，可以求出每次循环分别会遍历 $(x, y)$ 几次（$x, y$ 分别取模），然后对 $k$ 次循环直接统计即可。

设第 $i$ 次移动到了 $(x_i, y_i)$，变成枚举 $i\in[0, k)$，$(ix_n, iy_n) \equiv (x_m, y_m) \pmod{ (H, W) }$。

反过来，考虑 $(x_m x_n^{-1}, y_m y_n^{-1}) \equiv (i, i) \pmod {(H, W)}$，然后就结束了？好像也不难？细节就是考验数论功底了。