Codeforces Round #953 (Div.2)

Codeforces Round #953 (Div.2)

#	Who	=	*	A 500	B 750	C 1250	D 1500	E 2000	F 2500	Π	Δ Final	⮭
774	Iingfunny	3668		492 00:04	729 00:07	1145 00:21	1302 00:33			1929	+427	N/C

记号约定：\(a/b=\frac{a}{b}\)。

bilibili

1978A Submission

观察性质题，注意到最后一个必选，前面的任意选。

时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

1978B Submission

直接构造题，对于第二种卖法在 \(b-k \ge a\) 的时候都是第二种更优。

时间复杂度 \(\Theta(1)\)。

1978C Submission

考察对排列的理解。首先是距离最大的时候应该是 \(i>n/2\) 的数在左半部分， \(i<n/2\) 的数在右半部分。判定问题通过对称性可知道限制条件为偶数，于是令 \(k\gets k/2\)。

接下来考虑构造，最朴素的是只考虑交换 \(i\) 和 \(n-i+1\)，贡献为 \(n - 2i + 1\) 于是变成用所有奇数或者所有偶数构造出 \(k\)。

可以发现这个在偶数的时候大概率构造不出来 \(k\)，考虑添加一些别的交换，但是一个交换必须在有特殊限制的条件下才比较好考虑其贡献，比如完全有序的情况下，交换 \((i, j)\) 产生 \(j - i\) 的贡献。

考虑在之前的基础上构造，对于某次 \(i\) 和 \(n - i + 1\)，如果此时产生的贡献大于 \(k\)，就交换 \((i, i + k)\)，于是得到正解。

时间复杂度 \(O(n)\)。

1978D Submission

分类讨论题。从简单的情况开始考虑：只有一号，此时分类讨论两种 \(a_1 + c \ge \max\) 和 \(a_1 + c < \max\)。

类似的，考虑 \(i\) 号，此时 \(\max = \max\{a_1+ c, a_2, \cdots, a_{i-1},a_{i+1},\cdots,a_n\}\)，分别判断大于小于和等于。

时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

1978E Submission

看起来不像是特殊数据结构题，并且只有查询。

先手玩一下小情况，不难感觉到修改是有限的，而且可以只先做操作 1，最后再做操作 2。

通过有限这一性质，不难想到莫队。其次，左右端点向内缩的时候有点难想，考虑使用回滚莫队，但是要注意：

• 做操作 2 的时候，不能直接修改 \(a\) 数组导致操作 1 误判，只能打标记。

随后阅读了一下官方题解：考虑到查询整个串和查询某个区间的差别只在于边界的两个字符，尝试硬讨论这边界的两个字符即可。提交记录是官方做法，但是多判断了几个字符。

时间复杂度 \(O(n)\)。

1978F Submission

首先通过性质简化题意，由 \(k\ge 2\) 注意到，和主对角线平行的线上的点都是联通的（\(1\) 除外，但是 \(1\) 不可能和其他形成连通块，于是可以直接不讨论了）。

于是你把主对角线拉出来，得到一个序列 \(\{a_2, a_3, \cdots, a_n, a_1, a_2, \cdots, a_n\}\)。于是问题简化为在序列上的两个点连边，问最后有几个连通块。而连边的限制是：

• \(\gcd(a_i, a_j) > 1\)
• \(\lvert j - i\rvert \le k\)

遇到 \(\gcd\) 问题不妨从素数幂考虑，这里只需要考虑素数。对于某个素数 \(p\)，我们可以找到有哪些数字含有这个质因子，于是你得到了一些不（一定）连续的位置，要在它们距离 \(\le k\) 的点之间连一条边。不过这题是求连通块数量，于是图可以拉成一棵从左到右的、线性的树，只在相邻两个点距离 \(\le k\) 时连接。

再次利用这个性质，不用显式建图，只需要用并查集维护连通性即可。

至于找出有哪些位置含有质因子 \(p\)，可以埃氏筛预处理出每个正整数的质因子，时间复杂度 \(\Theta(n\log\log n)\)。然后在序列中直接遍历质因子即可，时间复杂度 \(O(n\omega(n))\)。

总时间复杂度 \(O(n\omega(n))\)，其实还有个反阿克曼函数，此处当作常数。