PAT (Advanced Level) Practice 1049 Counting Ones (30 分) 凌宸1642

PAT (Advanced Level) Practice 1049 Counting Ones (30 分) 凌宸1642

题目描述：

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

译：任务很简单：给定任何正整数 N，您应该计算从 1 到 N 的整数的十进制形式的 1 总数。例如，假设 N 为 12，则 1、10 中有五个 1， 11 和 12。

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Input Specification (输入说明):

Each input file contains one test case which gives the positive N (≤2³⁰).

译：每个输入文件包含一个测试用例，它给出正 N(≤2³⁰)。

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output Specification (输出说明):

For each test case, print the number of 1's in one line.

译：对于每个测试用例，在一行中打印 1 的数量。

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Sample Input (样例输入):

12

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Sample Output (样例输出):

5

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The Idea：

• 数学排列组合逻辑问题。
• 自己模拟的话，是肯定会超时的，根据算法笔记上的解法，会发现其实代码很简单，但是很难想
• 计算 n 的每一位数产生的1的数量 ， 每次根据当前位置的数字，将 n 分为部分，left 表示当前数字左边所有高位组成的数字，right 表示当前数字右边所有高位组成的数字 , now 表示当前数字：
  • 如果 now == 0 ，我们不妨取 当前位为 1 ，然后左边的取值范围为 [0 , left - 1] 右边数的取值范围为 [0 , a - 1], 利用排列组合的乘法原理可知，当前数字产生 1 的个数为 left * a ；
  • 如果 now == 1 ，就存在两种情况了，一种和 now == 0 时一致，另一种就是左边的取值为 left 右边数的取值范围为 [0 , right], 利用排列组合乘法原理和加法原理可知，当前数字产生 1 的个数为 left * a + right + 1 ；
  • 最后如果 now > 1 ，取当前位为 1 ,然后左边的取值范围为 [0 , left] 右边数的取值范围为 [0 , a - 1], 利用排列组合的乘法原理可知，当前数字产生 1 的个数为 (left + 1) * a 。

The Codes:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
int main(){
	int n , left , right , now , a = 1 , ans = 0 ;
	cin >> n ;
	while(n / a){
		left = n / a /10 , now = n / a % 10 , right = n % a ;
		if(now == 0) ans += left * a ;
		else if(now == 1) ans += left * a + right + 1 ;
		else ans += left * a + a ;
		a *= 10 ; 
	}
	cout << ans << endl ;
	return 0 ;
}