数据库原理：求最小依赖集和候选键
数据依赖的公理系统
Armstrong 公理
设有关系模式 R(U) 及其函数依赖集 F，如果对于 R 的任一个满足 F 的关系 r 函数依赖 X→Y 都成立，则称 F 逻辑蕴涵 X→Y，或称 X→Y 可以由 F 推出。给定关系模式 R(U) 和 FD 集 F，Armstrong 公理规定了以下的推理规则：
| 推理规则 | 说明 |
|---|---|
| A1 自反律 | 若 Y⊆X⊆U, 则 X→Y 成立 |
| A2 增广律 | 若 Z⊆U 且 X→Y，则 XZ→YZ 成立 |
| A3 传递律 | 若 X→Y，Y→Z，则 X→Z 成立 |
根据以上三条公理，可得到以下推理规则：
| 推理规则 | 说明 |
|---|---|
| 合并规则 | 若 X→Y，X→Z，则 X→YZ 成立 |
| 伪传递规则 | 若 X→Y，WY→Z，则 WX→Z 成立 |
| 分解规则 | 若 X→Y，且 Z⊆Y，则 X→Z 成立 |
| 复合规则 | 若 X→Y，且 W→Z，则 XW→ZY 成立 |
函数依赖闭包
在关系模式 R<U，F> 中为 F 所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F 的闭包，记为 F+。设 F 为属性集 U 上的一组函数依赖，X⊆U，XF+={A|X→A 能由 F 根据 Armstrong 公理导出}，XF+ 称为属性集 X 关于函数依赖集 F 的闭包。
翻译成人话就是你有一些字母 X，通过函数依赖集 F 的箭头可以得到的所有字母就是 X 关于 F 的闭包。例如设属性集 U={A,B,C}，函数依赖集 F={A→B, B→C} 则 AF+={A，B，C}，BF+={B，C}，CF+={C}。
最小函数依赖集
最小函数依赖集的定义
最小函数依赖集是函数依赖集 F 如果满足下列条件，则称 F 为最小函数依赖集：
- F 中每一个函数依赖的右部都是单个属性；
- 对 F 中任一函数依赖 X→A，F-{X→A｝都不与 F 等价；
- 对于 F 中的任一函数依赖 X→A，X 有真子集 Z 使得｛X→A}∪{Z→A｝都不与 F 等价。
翻译成人话就是你有一些你有一些字母 X 和函数依赖集 F，你可以找到一个更小的函数依赖集，它的所有函数依赖的箭头右边都只有一个字母，且不影响把箭头右边的字母都推出来。
最小依赖集的计算算法
- 应用分解规则，使 F 中每一个依赖的右部属性单一化。
- 去掉各依赖左部多余的属性。具体做法是：一个一个地检查 F 中左边是非单属性的依赖，例如 XY→A。判断Y是否为多余的，即以 X→A 代替 XY→A 是否等价，在 F 中求 X+，若 X+ 包含
A，则 Y 是多余的属性；否则 Y 不是多余属性。依次判断其他属性即可消除各依赖左边的多余属性。 - 去掉多余的依赖。具体做法是：从第一个依赖开始，从 F 中去掉它(假设该依赖为 X→Y)，然后在剩下的依赖中求 X，看 X+ 是否包含 Y，若是则去掉 X→Y，若不包含 Y 则不能去掉 X→Y。
样例
样例一
先看一个简单的例，属性集 ABC 上的 FD 集，设 F={A→BC, B→AC, C→A}，求 Fm。第一步先将每一个依赖的右部属性单一化：
F={A→B, A→C, B→A, B→C, C→A}
接着去掉各依赖左部多余的属性：
判断 A→B 是否冗余：G1={A→C, B→A, B→C, C→A}
AG1+=AC，B 不属于 AG1+，A→B 不冗余；
判断 A→C 是否冗余：G2={A→B, B→A, B→C, C→A}
AG2＋= ABC，C∈AG2＋，A→C 冗余，
修改为：F={A→B, B→A, B→C,C→A}；
判断 B→A 是否冗余：G3={A→B, B→C, C→A}
BG3＋= ABC，A∈BG3＋，B→A 冗余，
F={A→B, B→C, C→A}；
判断 B→C 是否冗余：G4={A→B, C→A}
BG4＋=B，C 不属于 BG4＋，B→C 不冗余；
判断 C→A 是否冗余：G5={A→B, B→C}
CG5＋=C，A 不属于 CG5＋，C→A 不冗余。
由于例中函数依赖的决定因素均为单属性，因而不需要第三步检查，上述结果就是最小函数依赖集。
Fm＝{A→B, B→C, C→A}
样例二
接着看一个啰嗦点的例子，设有依赖集 F，计算与其等价的最小依赖集。
F＝{MN→XZ, M→X, GP→N, ZP→M, XYZ→P, HN→P, Y→H, MNX→PG}
第一步，右边单一化：
F1＝{MN→X, MN→Z, M→X, GP→N, ZP→M, XYZ→P, HN→P, Y→H, MNX→P, MNX→G}
第二步：逐个求，在去掉它的 F 中求闭包
去掉 MN→X 后，求得的闭包包含 X，不保留
去掉 MN→Z 后，求得的闭包不包含 Z，保留
去掉 M→X 后，求得的闭包不包含 X，保留
去掉 GP→N 后，求得的闭包不包含 N，保留
去掉 ZP→M 后，求得的闭包不包含 M，保留
去掉 XYZ→P 后，求得的闭包不包含 P，保留
去掉 HN→P 后，求得的闭包不包含 P，保留
去掉 Y→H 后，求得的闭包不包含 H，保留
去掉 MNX→P 后，求得的闭包不包含 P，保留
去掉 MNX→G 后，求得的闭包不包含 G，保留
去掉各依赖左部多余的属性后得到：
F2＝{MN→Z, M→X, GP→N, ZP→M, XYZ→P, HN→P, Y→H, MNX→P, MNX→G}
第三步，对左边属性单一化：
MN→Z：
M→Z，求(M)+不包含 Z，所以 N 不冗余。
N→Z，求(N)+不包含 Z，所以 M 不冗余。
GP→N：
G→N，求(G)+不包含 N，所以 P 不冗余。
P→N，求(P)+不包含 N，所以 G 不冗余。
ZP→M：
Z→M，求(Z)+不包含 M，所以 P 不冗余。
P→M，求(P)+不包含 M，所以 Z 不冗余。
XYZ→P：
XY→P，求(XY)+不包含 P，所以 Z 不冗余。
YZ→P，求(YZ)+不包含 P，所以 X 不冗余。
XZ→P，求(XZ)+不包含 P，所以 Y 不冗余。
HN→P：
H→P，求(H)+不包含 P，所以 N 不冗余。
N→P，求(N)+不包含 P，所以 H 不冗余。
MNX→P：
MN→P，求(MN)+包含 P，所以 X 冗余。
MX→P，求(MX)+不包含 P，所以 N 不冗余。
NX→P，求(NX)+不包含 P，所以 M 不冗余。
MNX→G：
MN→G，求(MN)+包含 G，所以 X 冗余。
MX→G，求(MX)+不包含 G，所以 N 不冗余。
NX→G，求(NX)+不包含 G，所以 M 不冗余。
综上所述，去掉多余的依赖后得到最小函数依赖集。
Fm＝{MN→Z, M→X, GP→N, ZP→M, XYZ→P, HN→P, Y→H, MN→P, MN→G}
样例三
最后给一个实际的例子，设有关系模式如下。设一个学生可以选多门课程，一门课程可以被多名学生选。一个学生有唯一的所在系，每门课程有唯一的课程名和学分。每个学生对每门课程有唯一的成绩。
学生修课(学号, 姓名, 所在系, 性别, 课程号, 课程名, 学分, 成绩）
对关系模式归纳出函数依赖如下，得到候选键是{学号，课程号}。
学号→(姓名, 所在系, 性别)
课程号→(课程名, 学分)
(学号, 课程号)→成绩
第一步，右边单一化：
F1={学号→姓名, 学号→所在系, 学号→性别, 课程号→课程名, 课程号→学分, (学号, 课程号)→成绩}
第二步逐个求，在去掉它的F中求闭包。
去掉“学号→姓名”后，求得的闭包不包含“姓名”，保留
去掉“学号→所在系”后，求得的闭包不包含“所在系”，保留
去掉“学号→性别”后，求得的闭包不包含“性别”，保留
去掉“课程号→课程名”后，求得的闭包不包含“课程名”，保留
去掉“课程号→学分”后，求得的闭包不包含“学分”，保留
去掉“(学号, 课程号)→成绩”后，求得的闭包不包含“课程号”，保留
去掉各依赖左部多余的属性后得到：
F2={学号→姓名, 学号→所在系, 学号→性别, 课程号→课程名, 课程号→学分, (学号, 课程号)→成绩}
第三步，对左边属性单一化：
(学号，课程号)→成绩：
学号→成绩，求(学号)+不包含“成绩”，所以“学号”不冗余。
课程号→成绩，求(课程号)+不包含“成绩”，所以“课程号”不冗余。
综上所述，去掉多余的依赖后得到最小函数依赖集。
Fm={学号→姓名, 学号→所在系, 学号→性别, 课程号→课程名, 课程号→学分, (学号，课程号)→成绩}
求候选键
候选键的求法
博客数据库原理：数据模型和关系数据库有提到过，候选码是它的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能标识的属性组。
由于其他求法我都没看懂，所以只介绍快速判断方法。先计算函数依赖集 F 的最小函数依赖集，然后采用快速判定法，以及候选键的定义来确定候选键。对于给定的关系 R(U, F)，可将其属性分为四类：
| 属性类别 | 说明 |
|---|---|
| L 类 | 仅出现在函数依赖集 F 的左部的属性 |
| R 类 | 仅出现在函数依赖集 F 的右部的属性 |
| LR 类 | 在函数依赖集 F 的左右两边均出现的属性 |
| N 类 | 在函数依赖集 F 的左右两边均未出现的属性 |
快速求解候选码的一个充分条件是，对于给定的关系模式 R(U, F)，X∈U：
- 若 X 是 R 的 L 类属性，则 X 必为 R 的任一候选码中的属性；
- 若 X 是 R 的 R 类属性，则 X 必不在 R 的任一候选码中；
- 若 X 是 R 的 N 类属性，则 X 必为 R 的任一候选码中的属性。
快速求解候选码过程：
- 将 R 的所有属性分为 L、R、N 和 LR 四类，并令 X 代表 L、N 两类，Y 代表 LR 类；
- 求属性集闭包 X+，若 X+ 包含了 R 的全部属性则 X 即为 R 的唯一候选码，转(5)；
- 在 Y 中取一属性 A，求属性集闭包(XA)+，若(XA)+包含了 R 的全部属性，则转(4)；否则调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有 Y 中的属性；
- 如果已找出了所有的候选码，则转(5)；否则在 Y 中依次取 2个、3个、…… 属性，求 X 与它们的属性集闭包，直到其闭包包含 R 的全部属性；
- 停止，输出结果。
样例
样例一
设有关系模式 R(M, N, X, Y)，其函数依赖集 F={Y→N, N→Y, MY→N, MX→Y}，求 R 的所有候选键。
Left：{M, X}
LR：{N, Y}
Not：{}
因为对 {Left，Not}F+=R，所以{M，X}是 R 的所有候选键。
样例二
设有关系模式 R(U, F)，其中 U={M, N, X, Y, Z, P}，F={M→N, X→Y, Z→ M ,XZ→Y}，试求此关系的候选键。
Left：{X，Z}
LR：{M}
Not：{P}
因为对{Left，Not}F+=R，所以{X, Z, P}是 R 的所有候选键
样例三
设关系模式 R(S, D, I, B, O, Q)，其函数依赖集 F={S→D, I→B, B→O, O→Q, Q→I}，求 R 的所有候选码。
Left：{S}
LR：{I, B, O, Q}
Not：{}
因为S+=SD，所以 S 不是 R 的候选码；
因为(SI)+=SIDBOQ，所以 SI 是一个候选码；
因为(SB)+=SBDOQI，所以 SB 是一个候选码；
因为(SO)+=SODQIB，所以 SO 是一个候选码；
因为(SQ)+=SQDIBO，所以 SQ 是一个候选码。
参考资料
《数据库系统概论(第5版)》，王珊 萨师煊 编著，高等教育出版社
