PTA习题解析：二叉搜索树的最近公共祖先

二叉搜索树#

这道题目使用二叉搜索树实现，并且都要用到插入结点和查找结点的基操。更多基础内容可以查看博客——树表查找。

结构体定义#

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typedef struct TNode
{
    int data;
    struct TNode* left, * right;
} TNode, * BinTree;

插入操作#

二叉搜索树的插入本质上是查找操作，时间复杂度在 O(㏒₂n) ~ O(n) 之间，这要根据树的形态而定。

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void Insert(BinTree& BST, int num)
{
    if (BST == NULL)      //找到插入位置，插入结点
    {
        BST = new TNode;
        BST->data = num;
        BST->left = NULL;
        BST->right = NULL;
    }
    else
    {
        if (num < BST->data)
        {
            Insert(BST->left, num);
        }
        else if (num > BST->data)      //注意不要漏条件
        {
            Insert(BST->right, num);
        }
    }
}

查找操作#

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bool Find(BinTree BST, int num)
{
    bool flag = true;

    while (BST != NULL && BST->data != num)      //查找直到成功或失败
    {
        if (num < BST->data)
        {
            BST = BST->left;
        }
        else
        {
            BST = BST->right;
        }
    }
    if (BST == NULL)
    {
        flag = false;
    }
    return flag;
}

二叉搜索树的最近公共祖先#

测试样例#

输入#

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6 8
6 3 1 2 5 4 8 7
2 5
8 7
1 9
12 -3
0 8
99 99

输出#

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LCA of 2 and 5 is 3.
8 is an ancestor of 7.
ERROR: 9 is not found.
ERROR: 12 and -3 are not found.
ERROR: 0 is not found.
ERROR: 99 and 99 are not found.

题目解析#

这道题目是分成 3 部分来解决，分别是建立二叉搜索树、判断结点是否存在于树和获取 2 个结点的公共祖先。首先是建立二叉搜索树，这个操作虽然不难，循环调用插入函数就行。但是在这个地方一定要保证建立的正确性，否则下面的操作都无法实现。
接下来是判断结点是否存在于树，这个部分是二叉搜索树的基操，使用上面的函数就行。这里的想法是，若结点不存在于树中就可以忽略第 3 部分的操作。
第 3 部分就是获取 2 个结点的公共祖先，概括一下就是找到第一个公共祖先结点，该结点满足从这个结点出发进行搜索，可以找到两个要求的结点。关于这个操作可以用很多方式实现，这里讲解一个较为简单的手法，就是落脚到性质上去分析。对于二叉搜索树来说，满足条件的结点的数据域，值是 2 个给定数据的中间值，我们来观察一个例子。

对于结点 2 和 5，他们的公共祖先是结点 3，如图所示是如此，从数值上看 3 是 2 和 5 的中间值。不过为什么不能是结点 4 呢？因为结点 4 虽然是中间值，但是却不是第一个遇到的中间值，也就是结点 3 所在的层次比其更上层。进行搜索操作时，结点 3 就会被先遍历到。下面再看一个例子，对于结点 8 和 7，其公共祖先就是结点 8，因为结点 8 本身就可以访问它本身。

查找公共祖先函数 findLCA(BinTree BST, int num1, int num2)#

伪代码#

本质上其实也是查找操作，时间复杂度 O(㏒₂n)。

代码实现#

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int findLCA(BinTree BST, int num1, int num2)
{
    while (1)
    {
        if (BST->data > num1&& BST->data > num2)      //LCA 在根结点左树中
        {
            BST = BST->left;
        }
        else if (BST->data < num1 && BST->data < num2)      //LCA 在根结点左树中
        {
            BST = BST->right;
        }
        else      //当前根结点是 LCA
        {
            break;
        }
    }
    return BST->data;
}

主函数 main()#

伪代码#

代码实现#

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int main()
{
    BinTree BST = NULL;
    int fre, count;
    int num1, num2;      //待查找的 LCA 的 2 个结点
    bool flag1, flag2;      //结点是否存在于树结构中的 flag
    int lca;

    cin >> fre >> count;
    for (int i = 0; i < count; i++)     //建树
    {
        cin >> num1;
        Insert(BST, num1); 
    }
    for (int i = 0; i < fre; i++)
    {
        cin >> num1 >> num2;
        flag1 = Find(BST, num1);      //查找结点是否在树中
        flag2 = Find(BST, num2);
        if (flag1 == false && flag2 == false)      //2 个都不在
        {
            printf("ERROR: %d and %d are not found.\n", num1, num2);
        }
        else if (flag1 == false)      //只有 1 个在
        {
            printf("ERROR: %d is not found.\n", num1);
        }
        else if (flag2 == false)
        {
            printf("ERROR: %d is not found.\n", num2);
        }
        else      //2 个结点都在
        {
            lca = findLCA(BST, num1, num2);      //找公共祖先
            if (lca == num1)
            {
                printf("%d is an ancestor of %d.\n", num1, num2);
            }
            else if (lca == num2)
            {
                printf("%d is an ancestor of %d.\n", num2, num1);
            }
            else
            {
                printf("LCA of %d and %d is %d.\n", num1, num2, lca);
            }
        }
    }
}

调试遇到的问题#

虽然提交列表很长，但是只解决了 2 个问题。
Q1：找到的中间值并不是公共祖先，例如 2 和 5 找到的是 4。
A1：在我使用上述找公共祖先的方法之前，我还写了另一种算法。思想概括一下，就是另外定义一个结构体，我称之为报文结构体，里面有 1 个 int 类型变量表示状态码，用于判断需要输出什么信息，用 2 个 bool 类型变量标记 2 个数据分别有没有被找到，1 个 int 类型变量存储公共祖先的值。想法就是只搜索 1 次，若找到需要的数据就修改对应的 flag，若 2 个数据都找到了就利用递归回溯来确定公共祖先。这种做法我觉得绝对是可行的，但是我还没有试出比较好的方法来优化状态码变量，因为我传递这个结构体是使用引用来传递，但是当我找到了 2 个数据，并修改了 flag 类型，递归并没有结束，当下一层递归时 2 个 flag 都被改变了，就会去修改状态码。对于公共祖先较为密集的部分，这个状态码就很容易被提前修改。因此在我找到更好的办法来控制这个状态码之前，使用了上文提及的方法。
上文方法的好处是效率很高，这充分利用了二叉搜索树的性质，而我一开始并没有很好地理解所以没想到。
Q2：运行超时。
A2：我都不知道我中间做了什么，反正就是搞搞搞终于最后一次碰巧就不超时了，直接看截图吧。

插入函数这么写超时。

这么写不超时，看来确实是细节决定成败。由于我一开始漏了一个判断条件，使得建树函数并不能建立正确，在一些数据较为***钻的测试点中就会有查找操作停不下来的情况。看来基础操作一定要烂熟于心，不能够出问题。

知识总结#

1. 二叉搜索树的基操，这道题的前提条件就是建出二叉搜索树，没有这一步后面的所有都免谈。这就需要熟悉二叉搜索树的建立方式，二叉搜索树的建立基础是插入数据，而插入数据的本质是查找，虽然是基础操作，但是也可以加深对二叉搜索树的理解。尤其需要注意一定不能漏条件，这里的数据还是比较有规律的，实际应用时如果没有对每一种条件都进行判断，就会出大问题。
2. 二叉搜索树的性质，对于一个结点，比这个结点数值大的结点都在右子树，反之都在左子树。如果灵活运用这个性质，操作就会变得简捷而高效。