2018-2-13-图论-Warshall-和Floyd-矩阵传递闭包
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图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包 |
lindexi |
2018-2-13 17:23:3 +0800 |
2018-2-13 17:23:3 +0800 |
我们来说下有向图,一般的有向图也是图,图可以分为稠密图,稀疏图,那么从意思上,稠密图就是点的边比较多,稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间,因为邻接表在边之间存储需要多余的指针,而矩阵不需要。
下面这张图:http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048063
我们只说有向图,我们把有向图存在矩阵
我们先说Warshall,假如我们有一张图
我们把这张图存储在矩阵
首先是a,a可以直接到b,那么ab就�首先我们先说下图论,一般图存储可以使用邻接矩阵,或邻接表,一般使用邻接矩阵在稠密图比较省空间。
我们来说下有向图,一般的有向图也是图,图可以分为稠密图,稀疏图,那么从意思上,稠密图就是点的边比较多,稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间,因为邻接表在边之间存储需要多余的指针,而矩阵不需要。
下面这张图:http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048063
我们只说有向图,我们把有向图存在矩阵
我们先说Warshall,假如我们有一张图
我们把这张图存储在矩阵
首先是a,a可以直接到b,那么ab就是1 接着就是b,b可以直接到c,那么bc就是1
Warshall | a | b | c | d | e |
---|---|---|---|---|---|
a | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
b | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
c | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
d | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
那么Warshall怎么做,他需要做个十字形,因为有个定理,
$$ R_{ij} = R_{ik} \cup R_{kj} $$
其中ijk都是从0到n,这里n是点个数
那么我们得到的第一个矩阵,叫做$$ R^0 $$ 那么由第一个矩阵变化出第二个矩阵就叫$$ R^1 $$ 然后一直到n,这里n是点个数
如何变化,其实很简单,做个十字,这里说的十字是
那么我们第一个公式就可以来
我们选择一个点
如果在十字两个都是1,那么这个点也就改为1,因为图里只有一个点可以修改,所以修改完就是
$$R^1$$
接着我们把十字修改
那么发现有两个点,加粗db是上次修改的
我们可以发现ac和dc都是可以修改
那么继续修改
修改后
Warshall | a | b | c | d | e |
---|---|---|---|---|---|
a | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
b | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
c | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
d | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
因为我们从a到d都是可以到达,所以都为1,因为存在d可以到e,所以所有点都可以到e,因为e本身没有到任何点,所以为0
那么Floyd是什么,其实就是把原先的矩阵1改为数字
Floyd是可以算图中任意两个点的最短路径
那么说道这,我们需要带权有向图
带权就是两个点之间的边有个权,放在矩阵就是可以相连的两个点之间的ij为权
1
Warshall | a | b | c | d | e |
---|---|---|---|---|---|
a | 0 | 5 | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ |
b | $$\infty$$ | 0 | 2 | $$\infty$$ | $$\infty$$ |
c | $$\infty$$ | $$\infty$$ | 0 | 1 | $$\infty$$ |
d | 6 | 15 | $$\infty$$ | 0 | 1 |
e | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ | $$\infty$$ | 0 |
我们和之前Warshall一样做十字,然后判断是得到
$$R_{ij}=min{R_{ij},R_{ik}+R_{kj}}$$
那么这样就可以得到任意两点路径
算法复杂$$O(n^3)$$
在Warshall是判断两个都为1,修改,Floyd判断两个加起来的值比当前的小,修改
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