[bzoj1045] [洛谷P2512] [HAOI2008] 糖果传递

Description###

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input###

第一行一个正整数nn<=1'000'000，表示小朋友的个数．
接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的糖果的颗数．

Output###

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input###

4

1

2

5

4

Sample Output###

4

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想法##

设第\(i\)个小朋友从他左边小朋友那里得到 \(l_i\) 个糖果，向他右边的小朋友传递 \(r_i\) 个糖果
（\(l_i\) 与 \(r_i\) 都可以为负数）
显然 \(l_i=r_{i-1}\) ,特殊地 \(l_1=r_n\)
设\(p\)为最终每个小朋友手中的糖果数
则有 \(l_i+a_i-r_i=p\) , 即 $ r_i=l_i+(a_i-p) $
而我们又有 \(l_i=r_{i-1}\)
一直递归下去有 $ r_i=l_1+(a_1-p)+(a_2-p)+(a_3-p)+…+(a_i-p) $
最终答案为 \(|r_1|+|r_2|+…+|r_n|\)
我们可以记下 \(a_i-p\) 的前缀和为 \(sum_i\)
那么 \(ans=|l_1+sum_1|+|l_1+sum_2|+…+|l_1+sum_n|\)
绝对值是个美妙的东西，\(|l_1+sum_i|\) 可想为数轴上 \(-l_i\) 与 \(sum_i\) 的距离
那么\(ans\)的最小值在 \(-l_1\) 取 \(sum_i\) 中位数时取到

求出\(sum_i\)及其中位数后计算即可。

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1000005;

int a[N];
ll sum[N],p;
int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        p+=a[i];        
    }
    p=p/n;
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        sum[i]=sum[i-1]+a[i]-p;
    
    sort(sum+1,sum+1+n);
    ll l=sum[n/2+1],ans=0; //注意：中位数为n/2+1而不是n/2
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(sum[i]-l);
    printf("%lld\n",ans);
    
    return 0;    
}