[bzoj3996][TJOI2015]线性代数

Description###

给出一个 N*N 的矩阵B和一个 1*N 的矩阵C。求出一个 1*N 的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^{T最大。其中A}T为A的转置。输出D

Input###

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.
接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output###

输出最大的D

Sample Input###

3

1 2 1

3 1 0

1 2 3

2 3 7

Sample Output###

2

HINT###

1<=N<=500

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想法##

把D=（A*B-C）*A^T化简一下得出

\(D= \sum\) \(B_{i,j}A_iA_j\) - \(\sum\) \(C_iA_i\)

由于A为01矩阵，所以可将原问题考虑成每一个 \(A_i\) 是否选的问题
若要选 \(A_i\) 与 \(A_j\) ，即在最终答案中加上 \(B_{i,j}\) ，必须在答案中减去 \(C_i\) 与 \(C_j\)
可以发现这是一个“最大权闭合图”问题
将 \(B_{i,j}\) 及 \(C_i\) 当做节点，点权即为 \(B_{i,j}\) 及 \(C_i\) 的值。

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
#define INF 200000000
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int N = 505;
const int M = 505*505+505;
 
struct node{
    int v,f;
    node *next,*rev;       
}pool[N*N*8+N*2],*h[M];
int cnt;
 
void addedge(int u,int v,int f){
    node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
    p->v=v;p->next=h[u];h[u]=p; p->f=f;p->rev=q;
    q->v=u;q->next=h[v];h[v]=q; q->f=0;q->rev=p;     
}
 
int S,T;
int level[M];
int que[M];
bool bfs(){
    int head=0,tail=0,u,v;
    for(int i=S;i<=T;i++) level[i]=-1;
    level[S]=1;
    que[tail++]=S;
    while(head<tail){
        u=que[head++];
        for(node *p=h[u];p;p=p->next)
            if(p->f && level[v=p->v]==-1){
                level[v]=level[u]+1;
                que[tail++]=v;
            }
        if(level[T]!=-1) return true;
    }
    return false;
}
int find(int u,int f){
    int v,s=0,t;
    if(u==T) return f;
    for(node *p=h[u];p;p=p->next)
        if(s<f && level[v=p->v]==level[u]+1){
            t=find(v,min(p->f,f-s));
            if(t){
                s+=t;
                p->f-=t;
                p->rev->f+=t;      
            }
        }
    if(!s) level[u]=-1;
    return s;
}
int dinic(){
    int f=0;
    while(bfs()) f+=find(S,INF);
    return f;    
}
 
int b[N][N],c[N];
int n;
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) 
            scanf("%d",&b[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
     
    int sum=0;
    S=0; T=n*n+n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            sum+=b[i][j];
            addedge(S,(i-1)*n+j,b[i][j]);
            addedge((i-1)*n+j,n*n+i,INF);
            addedge((i-1)*n+j,n*n+j,INF);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        addedge(n*n+i,T,c[i]);
     
    sum-=dinic();
    printf("%d\n",sum);
     
    return 0;    
}