noip2017考前基础复习——数论数学
·最大公约数 gcd
辗转相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
1 int gcd(int x,int y){ 2 if(y==0) return x; 3 return gcd(y,x%y); 4 }
效率O(logn)
·最小公倍数 lcm
可由最大公约数推来 lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)
1 int lcm(int x,int y){ 2 int p=gcd(x,y); 3 return a*b/p; 4 }
效率O(logn)
·扩展欧几里得 extgcd
求ax+by=gcd(a,b)的整数对(x,y)
也可由gcd推过来
推导过程：
ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
假设求出 bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)
那么整理可得 bx'+(a-(a/b)*b)y'=gcd(b,a%b)
ay'+b(x'-(a/b)*y')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)
故 x=y' y=x'-(a/b)*y'
1 int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //返回值为gcd(a,b) 2 if(b==0) { 3 x=1;y=0; 4 return a; 5 } 6 int d=extgcd(b,a%b,y,x); 7 y-=(a/b)*x; 8 return d; 9 }
可用于求同余方程、逆元
效率O(logn)
·素数筛
线性筛法，很好理解
由于每个合数都只会被筛掉一次，复杂度O(n)
1 void Get_Prime(int n){ 2 p[0]=p[1]=0; 3 cnt=0; 4 for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1; //先标记2~n都为素数 5 for(int i=2;i<=n;i++){ 6 if(p[i]) prime[++cnt]=i; //i为素数 7 for(int j=1;j<=cnt && (long long)i*prime[j]<=n;j++){ 8 p[i*prime[j]]=1; //每个合数都只被自己最小质因子筛掉 9 if(i%prime[j]==0) break; 10 } 11 } 12 }
·欧拉函数 phi
求小于n与n互素的数的个数
phi[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)…… 其中p1,p2,p3为i的质因数
可以在线性筛素数的同时求，复杂度O(n)
1 void get_phi(){ 2 p[0]=p[1]=0;cnt=0; 3 for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1; 4 for(int i=2;i<=n;i++){ 5 if(p[i]==1) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i; 6 for(int j=1;j<=cnt && (ll)i*prime[j]<=n;j++){ 7 p[i*prime[j]]=0; 8 if(i%prime[j]==0) { 9 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; 10 break; 11 } 12 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); 13 } 14 } 15 }
·快速幂
可以把幂想成一个二进制数来理解
1 int Power_Mod(int x,int y){ //求x的y次方 2 int ret=1; 3 while(y){ 4 if(y&1) ret*=x; 5 x=x*x; 6 y>>=1; 7 } 8 return ret; 9 }
效率O(logn)
·排列组合
1）加法原理：做一件事有n类做法，第n类有m[n]种做法，总做法数为m[1]+m[2]+...+m[n]
2）乘法原理：做一件事有n个步骤，第n个步骤有m[n]中做法，总做法数为m[1]*m[2]*...*m[n]
乘法原理可以说是加法原理的特殊情况
3）容斥原理 **这很重要**
例如：求gcd(1~m,1~n)=k的数对有多少
设满足条件的数对有f(k)个
则f(k)=(m/k)*(n/k)-f(2*k)-f(3*k)-f(4*k)-……从后往前递推计算即可
4）排列：A(m,n)=m!/(m-n)! (m>n)
5）组合：C(m,n)=m!/((m-n)!*n!) (m>n)
如何求组合数？
法一：C(m,n)=C(m,n-1)*(m-n+1)/n
法二：杨辉三角 C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
·概率与数学期望
1）概率：P(A)=m/n （可理解为事件A发生的频率）
互相独立的事件A与B 满足 P(A*B)=P(A)*P(B)
2）数学期望：随机变量X的数学期望EX是所有可能的值按照概率加权的和
期望的线性性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)
未完待续……
