洛谷P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

 

输出格式：

 

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

 

题解：

这道题自己实在想不出来，看的题解，看到了那个可爱的性质gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]    （f数组表示斐波那契数列）

超级可爱有木有！

于是我就想它是怎么证出来的

参考网上各方题解加上自己的总结理解 证明过程如下：

先可证引理一：gcd(f[n],f[n+1])=1

由辗转相除 gcd(f[n],f[n+1]) = gcd(f[n],f[n+1]-f[n]) = gcd(f[n],f[n-1]) = gcd(f[n-1],f[n-2]) = …= gcd(f[2],f[1]) = 1

引理二：f[m+n]=f[m] * f[n-1] + f[m-1] * f[n]

可直接根据斐波那契数列性质（f[n]=f[n-1]+f[n-2]）推

f[m+n]=f[m+n-1] + f[m+n-2]

          =f[m+n-2] + f[m+n-3] + f[m+n-2] = f[m+n-2] * 2 + f[m+n-3]

          =f[m+n-3] * (2+1) + f[m+n-4] * 2 = f[m+n-3] * 3 + f[m+n-4] * 2

          =f[m+n-4] * (3+2) + f[m+n-5] * 3 = f[m+n-4] * 5 + f[m+n-5] * 3

          =f[m+n-5] * 8 + f[m+n-6] * 5    （发现规律了吗？）

          =f[m+n-5] * f[6] + f[m+n-6] * f[5]

          =f[m+n-x] * f[x+1] + f[m+n-x-1] * f[x]

          =f[m] * f[n+1] + f[m-1] * f[n]     （上一行的式子将n代入x）

引理三：gcd(f[n+m],f[m])=gcd(f[m],f[n])

gcd(f[n+m],f[m]) = gcd(f[m] * f[n+1] + f[m-1] * f[n],f[n]) （由引理二）

                          = gcd(f[n],f[m] * f[n+1])    （由辗转相除）

                          = gcd(f[m],f[n])     （由引理一，gcd(f[n],f[n+1])=1）

接下来，自认为很重要的最后一步：

（各路大神写的题解这块儿都太简略了，我都看不明白怎么弄出来的……感谢小伙伴帮忙，我才弄懂了这一步）

gcd(f[n],f[m]) = gcd(f[n-m],f[m]) = gcd(f[n%m],f[m])

此时我们发现f[]下标的变化与辗转相除的变化是一样的对不对

那么 原式就会如辗转相除一样变为gcd(f[gcd(n,m)],f[0])=gcd(f[gcd(n,m)],0)=f[gcd(n,m)]

感觉真是太神奇了！！

这条可爱的性质推出后，剩下的就很easy了

辗转相除法求gcd + 矩阵快速幂求斐波那契数列第x项

 

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#define P 100000000
using namespace std;

typedef long long ll;
struct matrix{
    int a[2][2];
    void clear(){
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++) 
                if(i==j) a[i][j]=1;
                else a[i][j]=0;    
    }
    void clear_all(){
        for(int i=0;i<2;i++)   
            for(int j=0;j<2;j++) a[i][j]=0;  
    }
    matrix operator * (const matrix &b) const{
        matrix c;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++){
                c.a[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+((ll)a[i][k]*b.a[k][j])%P)%P;
            }
        return c;
    }
};

matrix Power_Mod(matrix b,int x){
    matrix c;
    c.clear();
    while(x){
        if(x&1) c=c*b;
        b=b*b;
        x>>=1;         
    }
    return c;
}
int gcd(int x,int y){
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);    
}

int main()
{
    int n,m,w,i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    w=gcd(n,m);
    
    matrix c,b;
    b.clear_all();
    b.a[1][0]=b.a[0][1]=b.a[1][1]=1;
    c.clear_all();
    c.a[0][1]=c.a[0][0]=1;
    b=Power_Mod(b,w-1);
    c=c*b;
    
    printf("%d\n",c.a[0][0]);
    
    return 0;
}