bzoj1010:[HNOI2008]玩具装箱toy

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

题解：

dp斜率优化

首先dp方程比较显然，dp[i]表示前i个玩具都装进箱中的最小费用

设s[i]表示玩具c[i]的前缀和

dp[i]=min{dp[j]+(i-j+1+s[i]-s[j]-L)²} st.0≤j<i

令t[i]=s[i]+i

则方程可以写成dp[i]=min{dp[j]+(t[i]-t[j]-L-1)²}

相当于枚举j求j+1到i装一箱后的费用最小值

可这样复杂度是O(n²)，需要进行斜率优化

设k<j且方案j比k更优

dp[j]+(t[i]-t[j]-L-1)²≤dp[k]+(t[i]-t[k]-L-1)²

将平方拆开并化简可得出(dp[j]+t[j]²)-(dp[k]+t[k]²)/(t[j]-t[k])≤2(t[i]-L-1)

想象一个平面上有许多点，点i的纵坐标为(dp[i]+t[i]²),横坐标为t[i]

那么上面的式子也就是说点j与点k连线的斜率≤2(t[i]-L-1)

那么我们可以维护一个下凸包（用队列），不断判断，删点、加点，最优决策在队首（具体见代码）

 

注意：

不要忘记dp[0]，需要先加到队列中。因为这个WA了好几次……

 

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
 
const int MAXN=50005;
long long s[MAXN],t[MAXN],dp[MAXN];
struct Point
{
    long long x,y;
    int num;       
}q[MAXN*2];
int head,tail;
 
bool check(Point a,Point b,long long c)
{
    return b.y-a.y>(b.x-a.x)*c;     
}
bool check2(Point a,Point b,Point c)
{
    return (b.y-a.y)*(c.x-b.x)<(c.y-b.y)*(b.x-a.x);     
}
 
int main()
{
    int n,L,i,j,c;
    long long w;
    Point np;
    scanf("%d%d",&n,&L);
    s[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&c),s[i]=s[i-1]+c,t[i]=s[i]+i;
     
    dp[0]=0;
    head=tail=0;
    np.x=0;np.y=0;np.num=0;
    q[tail++]=np;
    for(i=1;i<=n;i++){
        w=2*(t[i]-L-1);
        while(head<tail-1 && !check(q[head],q[head+1],w)) head++;
 
        j=q[head].num;
        dp[i]=dp[j]+(t[i]-t[j]-L-1)*(t[i]-t[j]-L-1);
         
        np.x=t[i];np.y=dp[i]+t[i]*t[i];np.num=i;
        while(head<tail-1 && !check2(q[tail-2],q[tail-1],np)) tail--;
        q[tail++]=np;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
     
    return 0;
}