复习笔记——一些卷积
快速傅里叶变换
把多项式在系数表示与点值表示之间 \(O(nlogn)\) 转换
正变换是由系数 \(\Rightarrow\) 点值
一个 \(n\) 次函数可用 \(n+1\) 个点值唯一确定，所以重点是选 \(n+1\) 个点快速求值
单位复数根
称 \(x^n=1\) 在复数意义下的解为 \(n\) 次复数根，显然有 \(n\) 个解。
联想高中学过的复数三角形式 \(e^{ui}=cos(u)+isin(u)\)：
若 \((e^{ui})^n=1\) ，则 \(e^{uni}=cos(nu)+isin(nu)=1\)，则 \(cos(nu)=1,sin(nu)=0 \Rightarrow nu=2k\pi,k\in \mathbb{Z}\)
于是 \(u=\frac{2k\pi}{u},k\in \mathbb{Z}\)，所以 \(e^{\frac{2k\pi i}{n}},k\in \mathbb{Z}\) 都是解，当这无穷个数中其实只有 \(n\) 个不同的数（因为 \(e^{ui}=e^{(u+2\pi)i}\)）
设 \(\omega_{n}=e^{\frac{2\pi i}{n}}\) ，则 \(\omega_n^k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}\)，显然原方程的解是 \(\{\omega_n^k|k=0,1,\dots,n-1 \}\)
称 \(\omega_n\) 为单位复数根，下面是它的一些性质：
- \(\omega_n^n=1\)
- 消去引理：\(\omega_{dn}^{dk}=\omega_n^k\)
证：显然 \(\omega_{dn}^{dk}=e^{\frac{2dk\pi i}{dn}}=e^{\frac{2k\pi i}{n}}=\omega_n^k\) - 折半引理：\(n\) 个 \(n\) 次单位复数根的平方的集合为 \(n/2\) 个 \(n/2\) 次单位复数根集合
证：由消去引理 \(\omega_n^{2k}=\omega_{n/2}^k\)
对于 \(k=0,1,\dots,n/2-1\) ，恰好构成的是 \(\{\omega_{n/2}^k| k=0,1,\dots,n/2-1\}\)
而对于 \(k=k=n/2,n/2+1,\dots,n-1\)，构成的是 \(\{\omega_{n/2}^{k+n/2}| k=0,1,\dots,n/2-1\}\)
注意到 \(\omega_{n}^{k+n}=\omega_n^n\omega_n^k=\omega_n^k\) ，所以这两个集合是一样的 - \(\omega_{2n}^{n+k}=\omega_{2n}^{k}\omega_{2n}^{n}=-\omega_{2n}^{k}\)
选择 \(\{\omega_n^k|k=0,1,\dots,n-1 \}\) (\(n\) 为2的幂) 为要计算点值的点
DFT
分治计算。
原多项式 \(A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_ix^i\)
设 \(A^{[0]}(x)=\sum\limits_{i=0}^{n/2-1} a_{2i}x^{i},A^{[1]}(x)=\sum\limits_{i=0}^{n/2-1} a_{2i+1}x^{i}\)
相当于把奇偶项分开了，则 \(A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2)\)
由单位复数根的性质(公式中 \(k<n/2\) ) :
于是可以递归再合并了
当然代码里写的是非递归
IDFT
理论不太会……但代码与 \(DFT\) 几乎一样……
注意 \(l\) 的大小很玄妙……一定一定别开小了……
求 \(r[]\) ：for(int i=1;i<l;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(l>>1));
\(IDFT\) 后的最终结果是 \(int(A[i].r/l+0.5)\)
const double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
struct c{ //复数
double r,i;
c() { r=i=0.0; }
c(double x,double y) { r=x; i=y; }
c operator + (const c &b) { return c(r+b.r,i+b.i); }
c operator += (const c &b) { return *this=*this+b; }
c operator - (const c &b) { return c(r-b.r,i-b.i); }
c operator -= (const c &b) { return *this=*this-b; }
c operator * (const c &b) { return c(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r); }
c operator *= (const c &b) { return *this=*this*b; }
}x[N];
int l,r[N];
void fft(c *A,int ty){
for(int i=0;i<l;i++) x[r[i]]=A[i];
for(int i=0;i<l;i++) A[i]=x[i];
for(int i=2;i<=l;i<<=1){
c wn(cos(pi*2/i),ty*sin(pi*2/i));
for(int j=0;j<l;j+=i){
c w(1,0);
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
c t=A[k+i/2]*w;
A[k+i/2]=A[k]-t;
A[k]+=t;
w*=wn;
}
}
}
}
快速数论变换
理论跟 \(FFT\) 差不多，区别是取模，将单位复数根换成了原根的幂
常见原根 \(g\) ：998244353，1004535809的原根都是3
然而具体的我也不太清楚 \(qwq\)
int l,r[N],X[N];
void ntt(int *A,int ty){
for(int i=0;i<l;i++) X[r[i]]=A[i];
for(int i=0;i<l;i++) A[i]=X[i];
for(int i=2;i<=l;i<<=1){
int wn=Pow_mod(3,(P-1)/i);
if(ty==-1) wn=Pow_mod(wn,P-2);
for(int j=0;j<l;j+=i){
int w=1;
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
int t=1ll*A[k+i/2]*w%P;
A[k+i/2]=Minus(A[k],t);
A[k]=Plus(A[k],t);
w=1ll*w*wn%P;
}
}
}
if(ty==1) return;
int Inv=Pow_mod(l,P-2);
for(int i=0;i<l;i++) A[i]=1ll*A[i]*Inv%P;
}
快速沃尔什变换
也是类似系数表示与点值表示之间的转换
与(&)卷积
\(C[i]=\sum\limits_{j\&k=i} A[j]\times B[k]\)
需要设计出数组 \(A'=FWT(A)\) 满足 \(C'[i]=A'[i]\times B'[i]\)
考虑这样设计 \(A'[i]=\sum\limits_{j\&i=i} A[j]\)
那么 \(C'[i]=\sum\limits_{j\&i=i} \sum\limits_{k\&l=j} A[k]\times B[l]=\sum\limits_{j\&i=i} A[j] \times \sum\limits_{j\&i=i} B[j]=A'[i]\times B'[i]\)
验证成功。
考虑如何求 \(A'[]\) （即 \(FWT\) 过程）
设 \(A0[]\) 表示下标最高位为0的，\(A1[]\) 表示下标最高位为1的
\(FWT(A)=FWT(A0,A1)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))\)
\(IFWT(A)=IFWT(A0,A1)=(IFWT(A0)-IFWT(A1),IFWT(A1))\)
void fwt_and(int *A,int ty){
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
if(ty==1) A[k]=Plus(A[k],A[k+i/2]);
else A[k]=Minus(A[k],A[k+i/2]);
}
}
或(|)卷积
\(C[i]=\sum\limits_{j|k=i} A[j]\times B[k]\)
需要设计出数组 \(A'=FWT(A)\) 满足 \(C'[i]=A'[i]\times B'[i]\)
考虑这样设计 \(A'[i]=\sum\limits_{j|i=i} A[j]\)
那么 \(C'[i]=\sum\limits_{j|i=i} \sum\limits_{k|l=j} A[k]\times B[l]=\sum\limits_{j|i=i} A[j] \times \sum\limits_{j|i=i} B[j]=A'[i]\times B'[i]\)
验证成功。
考虑如何求 \(A'[]\) （即 \(FWT\) 过程）
设 \(A0[]\) 表示下标最高位为0的，\(A1[]\) 表示下标最高位为1的
\(FWT(A)=FWT(A0,A1)=(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))\)
\(IFWT(A)=IFWT(A0,A1)=(IFWT(A0),IFWT(A1)-IFWT(A0))\)
void fwt_or(int *A,int ty){
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
if(ty==1) A[k+i/2]=Plus(A[k+i/2],A[k]);
else A[k+i/2]=Minus(A[k+i/2],A[k]);
}
}
异或(^)卷积
这个有点难……
原理：令 \(i\&j\) 中 1 的个数的奇偶性为 “\(i\) 与 \(j\) 的奇偶性”，那么 “\(i\) 与 \(k\) 的奇偶性” 异或 “\(k\) 与 \(j\) 的奇偶性” 等于 “\(i \hat{} j\) 与 \(k\) 的奇偶性”
令 \(A'[i]=\sum\limits_{i\&j奇偶性为0} A[j]-\sum\limits_{i\&j奇偶性为1} A[j]\)
则
验证成功。
考虑如何求 \(A'[]\) （即 \(FWT\) 过程）
设 \(A0[]\) 表示下标最高位为0的，\(A1[]\) 表示下标最高位为1的
\(FWT(A)=FWT(A0,A1)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)-FWT(A1))\)
\(IFWT(A)=IFWT(A0,A1)=(\frac{IFWT(A0)+IFWT(A1)}{2},\frac{IFWT(A0)-IFWT(A1)}{2})\)
void fwt_xor(int *A,int ty){
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
int t=A[k+i/2];
A[k+i/2]=Minus(A[k],t);
A[k]=Plus(A[k],t);
if(ty==-1)
A[k+i/2]=1ll*A[k+i/2]*Q%P,A[k]=1ll*A[k]*Q%P;//Q=1/2(mod P)
}
}
子集卷积
\(C[i]=\sum\limits_{j|k=i,j\&k=0} A[j]\times B[k]\)
如果没有 \(j\&k=0\) 的限制，就是或卷积。
有了这个限制就要求在 \(j|k=i\) 的基础上满足 \(|i|=|j|+|k|\) ,绝对值表示1的个数
而 \(|i|=|j|+|k|\) 让我们想到了普通的卷积。
于是我们卷积套卷积，外层普通卷积，内层或卷积。
具体地，令 \(f[i][j]=[|j|==i]\times A[j],g[i][j]=[|j|==i]\times B[j]\)
那么每个 \(f[i],g[i]\) 都可看成是多项式
令 \(h[i]=\sum\limits_{j+k=i} f[j] \oplus g[k]\) ，两个多项式 \(a\oplus b\) 表示或卷积
最终 \(C[i]=h[|i|][i]\)
下面的是洛谷模板题代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define P 1000000009
using namespace std;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x;
}
const int N = 1<<20;
int n,m,a[N],b[N];
int Plus(int x,int y) { return x+y<P?x+y:x+y-P; }
int Minus(int x,int y) { return x>=y?x-y:x-y+P; }
void fwt(int *A,int ty){
for(int i=2;i<=m;i<<=1)
for(int j=0;j<m;j+=i)
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
if(ty==1) A[k+i/2]=Plus(A[k+i/2],A[k]);
else A[k+i/2]=Minus(A[k+i/2],A[k]);
}
}
int f[25][N],g[25][N],num[N];
int h[25][N];
int main()
{
n=read();
m=(1<<n);
for(int i=0;i<m;i++) a[i]=read();
for(int i=0;i<m;i++) b[i]=read();
for(int i=0;i<m;i++){
int t=0,x=i;
for(;x;x>>=1) t+=(x&1);
num[i]=t;
f[t][i]=a[i];
g[t][i]=b[i];
}
for(int i=0;i<=n;i++){ //pre fwt
fwt(f[i],1); fwt(g[i],1);
}
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
for(int k=0;k<m;k++)
h[i][k]=Plus(h[i][k],1ll*f[j][k]*g[i-j][k]%P); //don't fwt back
for(int i=0;i<=n;i++) fwt(h[i],-1);
for(int i=0;i<m;i++) printf("%d ",h[num[i]][i]);
return 0;
}
狄利克雷卷积
\(h=f*g\)，即 \(h[i]=\sum\limits_{d|i} f[d]\times g[\frac{i}{d}]\)
在杜教筛中会用到
主要是有两个重要的式子，这里先声明几个函数：
\(\mu(n)\) 莫比乌斯函数，\(\phi(n)\) 欧拉函数
\(\epsilon(n)=[n=1]\) 元函数，\(I(n)=1\) 恒等函数，\(id(n)=n\) 单位函数
重要式子来了:
- \(\mu * I=\epsilon\) 这个式子确保了莫比乌斯反演的正确性
- \(\phi * I=id\) 看着很美妙但不会证…
