复习笔记——博弈论

公平组合游戏 ICG

1.两名玩家交替
2.操作与是哪名玩家无关
3.不能行动者判负

公平组合游戏都是有向图游戏（一个状态指向另一个状态）
都可以使用 \(SG\) 定理

每个状态要么是“必胜态”，要么是“必败态”
必胜态一定能走到必败态
必败态无论怎么走都走到必胜态

例子——nim游戏

\(n\) 堆石子，大小为 \(a_i\) ，两人轮流选一堆取至少一个，取走最后一个石子者胜（即没的取得人输）

令 \(t=a_1 \ XOR \ a_2 \ XOR \ \dots XOR \ a_n\)
若 \(t=0\) ，先手负
若 \(t \neq 0\) ，先手胜

SG函数与SG定理

SG函数：
设 \(x\) 的后继节点为 \(y_1,y_2,...\)
则 \(SG(x)=mex{SG(y_1),SG(y_2),...}\)

SG定理：
定义有向图游戏的和 \(G\) ——\(m\)个有向图游戏 \(G_1,G_2,...,G_m\) ，每次操作可任选一个游戏操作
\(SG(G)=SG(G_1)\ XOR \ SG(G_2) \ XOR \ ... \ SG(G_m)\)

若 \(SG(G)=0\)，先手负
若 \(SG(G) \neq 0\)，先手胜

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一些变形

multi-SG

一个状态 \(G\) 在一次操作后可拆成若干子状态 \(g_i\) ，则可看成把这些子状态看为一个状态 \(F\)，$SG(F)=SG(g_1) \ XOR \ SG(g_2) \ ... $
其他的都一样

阶梯nim

\(n\) 堆石子，大小为 \(a_i\)
每次可选取一堆 \(i\) ，取至少一个石子，挪到第 \(i-1\) 堆
最终要所有石子挪到第 \(0\) 堆。无法操作者负。

可看成是奇数位的堆做 \(nim\)

anti-SG

规则不同——无法操作者胜

有 \(SJ\) 定理
对某一局面，先手必胜的条件为以下两条之一：
1.所有单一状态的 \(SG\) 值不大于1，该局面 \(SG\) 值为0
2.存在单一状态的 \(SG\) 值大于1，该局面的 \(SG\) 值大于0