[bzoj5020] [THUWC 2017] 在美妙的数学王国中畅游
Description
数字和数学规律主宰着这个世界。
机器的运转，
生命的消长，
宇宙的进程，
这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。
这印证了一句古老的名言：
“学好数理化，走遍天下都不怕。”
学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。
数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：
正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]
数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。
数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。
Input
第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。
表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。
typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。
其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。
接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。
一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若
f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])
接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。
appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数
travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v
（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。
若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。
1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。
Sample Input
3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
Sample Output
9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000
想法
是一道二合一的题。
树上连边、删边操作让人想到 \(LCT\)
需要维护路径上的得分和，即 \(LCT\) 中一棵 \(splay\) 中的得分和。
对于一次函数 \(ax+b\) ，显然可以维护 \(x\) 的一次项和常数项系数之和。
然而 \(sin(ax+b)\) 与 \(e^{ax+b}\) 怎么办呢？
泰勒展开！
简单理解成 $ f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x0) \times (x-x0)^i}{i!} $
令 \(x0=0\) ，\(n\) 大概取13 就近似地差不多了。
求导 “导一导” 出来。（懒得打了【捂脸】）
于是维护 \(x\) 的 0-13 次项系数和即可~
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x;
}
const int N = 100005;
typedef double db;
int n,m;
int ff[N];
db aa[N],bb[N],val[N][15],mul[15];
int rt[N],ch[N][2],pa[N],rev[N];
db sum[N][15];
void cal(int x){//rt[x]=1
for(int i=0;i<15;i++) sum[x][i]-=val[x][i];
if(ff[x]==3) {
val[x][0]=bb[x]; val[x][1]=aa[x];
for(int i=2;i<15;i++) val[x][i]=0.0;
}
else if(ff[x]==2){
db ee=exp(bb[x]),sa=1.0;
for(int i=0;i<15;i++){
val[x][i]=sa*ee/mul[i];
sa*=aa[x];
}
}
else{
db sa=1.0,ss[4];
ss[0]=sin(bb[x]); ss[1]=cos(bb[x]); ss[2]=-sin(bb[x]); ss[3]=-cos(bb[x]);
for(int i=0;i<15;i++){
val[x][i]=sa/mul[i]*ss[i%4];
sa*=aa[x];
}
}
for(int i=0;i<15;i++) sum[x][i]+=val[x][i];
}
void update(int x){
for(int i=0;i<15;i++) sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i]+val[x][i];
}
void pushdown(int x){
if(!rev[x]) return;
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[ch[x][0]]^=1;
rev[ch[x][1]]^=1;
rev[x]=0;
}
int st[N],top;
void push(int x){
top=0;
st[++top]=x;
while(!rt[x]) x=pa[x],st[++top]=x;
for(int i=top;i>0;i--) pushdown(st[i]);
}
void rotate(int x,int ty){
int fa=pa[x],gp=pa[fa],son=ch[x][ty^1];
ch[fa][ty]=son; if(son) pa[son]=fa;
ch[x][ty^1]=fa; pa[fa]=x;
pa[x]=gp;
if(rt[fa]) rt[fa]=0,rt[x]=1;
else ch[gp][fa==ch[gp][1]]=x; /**/
update(fa); update(x);
}
void splay(int x){
push(x);
while(!rt[x]){
if(rt[pa[x]]) rotate(x,x==ch[pa[x]][1]);
else{
int fa=pa[x],gp=pa[fa];
int f=fa==ch[gp][0];
if(x==ch[fa][f]) rotate(x,f),rotate(x,!f);
else rotate(fa,!f),rotate(x,!f);
}
}
}
int access(int x){
int y=0;
while(x){
splay(x);
rt[ch[x][1]]=1;
rt[y]=0; ch[x][1]=y;
update(x);
y=x; x=pa[x];
}
}
void makeroot(int x) { access(x); splay(x); rev[x]^=1; }
int find(int x){
access(x); splay(x);
while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}
void link(int x,int y) { makeroot(x); pa[x]=y; }
void cut(int x,int y){
makeroot(x); access(y); splay(y);
ch[y][0]=0;
rt[x]=1; pa[x]=0;
update(y);
}
db ans;
bool Sum(int x,int y,db c){
if(find(x)!=find(y)) return false;
makeroot(x); access(y); splay(y);
db cnow=1.0; ans=0.0;
for(int i=0;i<15;i++){
ans+=sum[y][i]*cnow;
cnow*=c;
}
return true;
}
int main()
{
char ss[10];
n=read(); m=read(); scanf("%s",ss);
mul[0]=1;
for(int i=1;i<15;i++) mul[i]=mul[i-1]*i;
for(int i=1;i<=n;i++){
ff[i]=read();
scanf("%lf%lf",&aa[i],&bb[i]);
cal(i); rt[i]=1;
}
int x,y;
db c;
while(m--){
scanf("%s",ss);
if(ss[0]=='a') link(read()+1,read()+1);
else if(ss[0]=='d') cut(read()+1,read()+1);
else if(ss[0]=='m'){
x=read()+1;
ff[x]=read(); scanf("%lf%lf",&aa[x],&bb[x]);
splay(x); cal(x);
}
else {
x=read()+1; y=read()+1;
scanf("%lf",&c);
if(Sum(x,y,c)) printf("%.8e\n",ans);
else printf("unreachable\n");
}
}
return 0;
}
