Noip 2016 天天爱跑步 【树上倍增+深搜】
题目：
小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。«天天爱跑步»是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。
这个游戏的地图可以看作一一棵包含 个结点和
条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从
到
的连续正整数。
现在有个玩家,第
个玩家的起点为
,终点为
。每天打卡任务开始时,所有玩家在第
秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)
小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。 在结点的观察员会选择在第
秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第
秒也理到达了结点
。 小C想知道每个观察员会观察到多少人?
注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一 段时间后再被观察员观察到。 即对于把结点作为终点的玩家: 若他在第
秒重到达终点,则在结点
的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第
秒到达终点,则在结点
的观察员可以观察到这个玩家。
分析：
此题题意明确，要求也不多，很容易想到许许多多暴力方法，也都能得到部分分。但如果想要AC，就必须使用一下几个突破口：
1、求两点的路径时，很容易想到lca，即两点互通时必经之地，方程（一定要用倍增）：
lca=Lca(a,b); len=dep[a]+dep[b]-2*dep[lca];//拆成两条路径
2、求两点间路径上的合法点时，用num[0][x]记录路径经过当前结点，且节点深度为x的合法起点节点数目；用num[1][x]记录路径经过当前结点，且节点深度为x的合法终点节点数目；那么如何能在根节点x仅仅利用w[x]和dep[x]求出合法的起点和终点呢？其实有这样一个技巧：
首先,一个路径（从u到v）能经过x的条件是：
从起点的角度上：dep[u]-w[x]=dep[x] ==> dep[x]+w[x]=dep[u]
从终点的角度上: len(u,v)-w[x]=dep[v]-dep[x] ==> w[x]-dep[x]=len(u,v)-dep[v]
我们可以看到，等式经整理后，左边全是关于x的，右边全是关于起点和终点的，于是就会惊喜地想到：在把每个起点通过建图联系起来，把每个起点通过建图联系起来，把它们的“深度”处理成红色字，在遍历每一棵树到x时都调用蓝色字就可以找到合法的起点和终点了。
还有以下的注意事项：
1、如果我们要求经过当前结点的路径上的合法节点的数目，显然不能直接用num[0][x]加上num[1][x],因为会有一些相同深度的节点不属于同一棵子树，会加多。那么，我们采取差量法，先记录num[0][x]+num[1][x],经过一番dfs子树后，再看num[0][x]+num[1][x]的变量，变化量就是子树的合法节点数量。
2、其实其中利用了差分的思想，每次在子节点的num[i][0],num[i][1]和num[j][0],num[j][1]分别加1，在退出时在根节点的num[x][0],num[x][1]分别减1。
下面是参考代码：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; const int lim=100000000; const int maxn=600010; struct point { int to; int nxt; }edge[maxn*2]; int n,Q,tot=0; int dep[maxn]={0},cnt[2]={0},num[2][maxn*2],sum[maxn],f[20][maxn]; bool vis[maxn]; int w[maxn],vnxt[3][maxn*2],vlas[3][maxn*2],vfir[3][maxn*2],vv[3][maxn*2],head[maxn]; void add(int u,int v) { tot++; edge[tot].to=v; edge[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot; } // 哪个点 起/终 所谓的深度 void v_add(int x,int s,int v)//奇怪的联系起点（终点）们的方式 { int k=++cnt[s];//k表示是第几个起点/终点 vv[s][k]=v; vnxt[s][k]=0; if(vfir[s][x]) vnxt[s][vlas[s][x]]=k; else vfir[s][x]=k; vlas[s][x]=k; } void work(int x) { int s1=num[0][dep[x]+w[x]+maxn];//没遍历子树之前的值 int s2=num[1][w[x]-dep[x]+maxn]; for(int j=0;j<2;j++)//统计合法起点/终点 for(int i=vfir[j][x];i;i=vnxt[j][i]) { int dd=vv[j][i]; if(dd<=lim) num[j][dd]++; } for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)//遍历子树 { int v=edge[i].to; if(vis[v]) continue; vis[v]=1; work(v); } for(int j=0;j<2;j++)//减去给lca的重复计数 for(int i=vfir[j][x];i;i=vnxt[j][i]) { int dd=vv[j][i]; if(dd>lim) num[j][dd-lim]--; } sum[x]+=num[0][dep[x]+w[x]+maxn]-s1;//差值才是真正的子树贡献值 sum[x]+=num[1][w[x]-dep[x]+maxn]-s2; } int Lca(int x,int y)//lca的老样子 { int temp,co=0,lca; int tx=x,ty=y; if(dep[tx]>dep[ty]) swap(tx,ty); temp=dep[ty]-dep[tx]; while(temp) { if(temp&1) ty=f[co][ty]; temp>>=1; co++; } if(tx==ty) return tx; else { for(int j=19;j+1;j--) { if((1<<j)>dep[tx]) continue; if(f[j][tx]!=f[j][ty]) { tx=f[j][tx]; ty=f[j][ty]; } } lca=f[0][tx]; } return lca; } int main() { memset(head,0,sizeof(head)); cin>>n>>Q; for(int i=1;i<=n-1;i++) { int a,b; cin>>a>>b; add(a,b);//双向建图 add(b,a); } for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]; /*input over*/ queue<int> q; vis[1]=1; dep[1]=0; q.push(1); while(!q.empty())//宽搜处理dep和f[0][i] (父节点) { int tt=q.front(); q.pop(); for(int i=head[tt];i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to; if(!vis[v]) { vis[v]=1; q.push(v); dep[v]=dep[tt]+1; f[0][v]=tt; } } } for(int j=1;j<20;j++)//倍增的老样子 for(int i=1;i<=n;i++) if(dep[i]>=(1<<j)) f[j][i]=f[j-1][f[j-1][i]]; while(Q--) { int a,b,lca,len; cin>>a>>b; if(a==b)//终点起点都一样 { if(w[a]==0) sum[a]++; continue; } lca=Lca(a,b); len=dep[a]+dep[b]-2*dep[lca];//lca的老样子 if(dep[a]-dep[lca]==w[lca])//直接处理出根节点 sum[lca]++; if(a!=lca) { v_add(a,0,maxn+dep[a]);//给起点建图 v_add(lca,0,maxn+dep[a]+lim);//为后面减去lca的num准备 } if(b!=lca) { v_add(b,1,maxn+len-dep[b]);//给终点建图 v_add(lca,1,maxn+len-dep[b]+lim);//为后面减去lca的num准备 } } memset(vis,0,sizeof(vis)); vis[1]=1; work(1); //通过遍历一个个子树，以深度为对象统计出每个节点作为根时的合法起点和终点 for(int i=1;i<=n;i++) cout<<sum[i]<<" "; return 0; }
