「Nescafé26」 Freda的传呼机 【最短路径+树上倍增】
题目：
为了随时与rainbow快速交流，Freda制造了两部传呼机。Freda和rainbow所在的地方有N座房屋、M条双向光缆。每条光缆连接两座房屋，传呼机发出的信号只能沿着光缆传递，并且传呼机的信号从光缆的其中一端传递到另一端需要花费t单位时间。现在Freda要进行Q次试验，每次选取两座房屋，并想知道传呼机的信号在这两座房屋之间传递至少需要多长时间。Freda和rainbow简直弱爆了有木有T_T，请你帮帮他们吧……
N座房屋通过光缆一定是连通的，并且这M条光缆有以下三类连接情况：
A：光缆不形成环，也就是光缆仅有N-1条。
B：光缆只形成一个环，也就是光缆仅有N条。
C：每条光缆仅在一个环中
颂芬数据占10%，2<=N<=1000，N-1<=M<=1200。
A类数据占30%，M=N-1。
B类数据占50%，M=N。
C类数据占10%，M>N。
对于100%的数据，2<=N<=10000，N-1<=M<=12000，Q=10000，1<=x,y<=N，1<=t<32768。
分析：
（对于直接想要AC的人，可以直接忽略此部分）
可以看到：对于10%的数据，可以简简单单跑一个SPFA，（但一定要注意细节，严格按照模板来），下面给出10分的代码（通往AC的路是循序渐进的）：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; struct point { int to,nxt,w; }edge[52010]; int n,m,Q,a,b,ww,cnt=0; int head[52010],vis[52010]; long long dis[22010]; void init() { memset(head,0,sizeof(head)); cnt=0; } void add(int u,int v,int wei) { cnt++; edge[cnt].to=v; edge[cnt].nxt=head[u]; edge[cnt].w=wei; head[u]=cnt; } void spfa(int st) { int fron=0,tail=1; int q[120000]; memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(dis,0x7f,sizeof(dis)); vis[st]=1; dis[st]=0; q[1]=st; do { fron++; int tt=q[fron]; vis[tt]=0; for(int i=head[tt];i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to; if(dis[v]>dis[tt]+edge[i].w) { dis[v]=dis[tt]+edge[i].w; if(!vis[v]) { vis[v]=1; tail++; q[tail]=v; } } } }while(fron!=tail); } int main() { cin>>n>>m>>Q; init(); for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>a>>b>>ww; add(a,b,ww); add(b,a,ww); } while(Q--) { cin>>a>>b; spfa(a); cout<<dis[b]<<endl; } return 0; }
剩下的能跑出树上倍增的，相信离成功也不远了。仔细看看题目中红色的字体，会发现实际上所有的环只可能有公共顶点，不可能有公共边，这样画出来就很像一个仙人掌（其实名称都不重要），那么我们该如何处理这样的一个个环呢？其实可以想到，我们以每一个公共顶点为树根，可以把多个环转化成一棵树，其中树枝长就是环中每个点到顶点的最短距离，但一定要分别记录每个点从两边到环顶的距离 l[i] 和 r[i]，因为转换成一棵树后，从树上看来似乎是每两个点之间的路径必过顶点，但实际上在环中两个点完全可以不通过顶点而相互到达，因此两个点若在一个环中（这里实现的时候用一个数组分别记录每个点所在的环的编号和环顶），就有：
dis[x][y]= min( l[x]+r[y] , l[y]+r[x] , abs(r[x]-r[y]) );//一左一右到环顶，一右一左到环顶，和不通过环顶
然后至于树上倍增，我们用fa[x][i]表示从x这个节点往上2^i步能到的节点，用dis[x][i]表示从x这个节点到fa[x][i]这个祖先的距离；
就有初始化（递推）：
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]；//从上一个位置再走一步 dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];//走半截再走半截
于是此题就可以AC了：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=121000; struct point1 { int to,nxt,w; }edge[maxn<<1]; struct point2 { int to,nxt,w; }edge2[maxn<<1]; int n,m,Q,a,b,ww,ss=0,ttt=0,n_cir=0; int lop[maxn][4];//详见62~65行 int e[maxn][4],pre[maxn][3],bin[20],dfn[maxn],dep[maxn],head1[maxn],head2[maxn]; /*pre[i][0/1],0为i前一个是谁，1为i前一条边长*/ int dis[maxn][20],fa[maxn][20]; void init() { bin[0]=1; for(int i=1;i<=18;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1; } int cnt=0; void add(int u,int v,int wei) { edge[cnt].to=v; edge[cnt].nxt=head1[u]; edge[cnt].w=wei; head1[u]=cnt++; } int ct=0; void ins(int u,int v,int wei) { edge2[ct].to=v; edge2[ct].nxt=head2[u]; edge2[ct].w=wei; head2[u]=ct++; } void dfs(int x,int y,int fa) { ttt++; dfn[x]=ttt; for(int i=head1[x];~i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to; if(v==fa && i==(y^1)) continue; if(dfn[v]!=0 && dfn[v]<dfn[x])//找到一个环 { int len=edge[i].w; n_cir++; for(int j=ss;pre[j][0]!=v;j--) len+=pre[j][1]; lop[x][0]=n_cir;//环的编号 lop[x][1]=v;//环的顶点 lop[x][2]=edge[i].w;//从一边到顶点的距离 lop[x][3]=len-lop[x][2];//从另一边 ins(v,x,min(lop[x][2],lop[x][3]));//正反建图 ins(x,v,min(lop[x][2],lop[x][3]));//按最短路径重新建图 for(int j=ss-1;pre[j][0]!=v;j--) { int z=pre[j][0]; lop[z][0]=n_cir; lop[z][1]=v; lop[z][2]=lop[pre[j+1][0]][2]+pre[j+1][1]; lop[z][3]=len-lop[z][2]; ins(v,z,min(lop[z][2],lop[z][3])); ins(z,v,min(lop[z][2],lop[z][3])); } } if(dfn[v]) continue; pre[++ss][0]=v; pre[ss][1]=edge[i].w; dfs(v,i,x); } ss--; } void dfss(int x) { for(int i=1;i<=18;i++) { if(dep[x]<bin[i]) break; fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1]; } for(int i=head2[x];~i;i=edge2[i].nxt) { if(edge2[i].to!=fa[x][0]) { int v=edge2[i].to; fa[v][0]=x; dep[v]=dep[x]+1;//深度在待会lca要用 dis[v][0]=edge2[i].w; dfss(v); } } } int lca(int x,int y) { int sum=0; if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int t=dep[x]-dep[y]; for(int i=0;i<=18;i++) if(t&bin[i])//y在x下面，t的二进制在i那一位上有1 (保证要用2^i凑齐t) { sum+=dis[x][i]; x=fa[x][i]; } for(int i=18;i>=0;i--) { if(fa[x][i]!=fa[y][i]) { sum+=dis[x][i]+dis[y][i]; x=fa[x][i]; y=fa[y][i]; } } if(x==y) return sum; if(lop[x][0]==lop[y][0] && lop[x][0]!=0) sum+=min(min(lop[x][2]+lop[y][3],lop[y][2]+lop[x][3]),abs(lop[x][2]-lop[y][2])); else sum+=dis[x][0]+dis[y][0]; return sum; } int main() { memset(head1,-1,sizeof(head1)); memset(head2,-1,sizeof(head2)); init(); cin>>n>>m>>Q; for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>a>>b>>ww; add(a,b,ww); add(b,a,ww); e[i][1]=a; e[i][2]=b; e[i][3]=ww; } ss=1; pre[1][0]=1; pre[1][1]=0; dfs(1,-1,0);//找环，并计算出每个点到环顶的最短路 for(int i=1;i<=m;i++) { int aa=e[i][1]; int bb=e[i][2]; int cc=e[i][3]; if( (lop[aa][0]!=lop[bb][0] || !lop[aa][0] || !lop[bb][0]) && lop[aa][1]!=bb && lop[bb][1]!=aa) { ins(aa,bb,cc); ins(bb,aa,cc); } } dfss(1);//倍增处理 while(Q--) { cin>>a>>b; cout<<lca(a,b)<<endl; } return 0; }
