高级数据结构（一）

一.自顶向下伸展树

伸展树考虑到局部性原理，为使整个查找时间更小，将被频繁查找的节点调整到根部，即通过不断改变树的结构，从而使其的操作保持了O(logN)的摊还时间界。

伸展树的单旋转、一字形旋转和之字形旋转的旋转示意图如下，

 

图1-1 伸展树的单旋转、一字形旋转和之字形旋转的展开旋转示意图

在执行完最后一步的展开后，需要对L、R以及中间树进行合并，形成单一的树，合并的示意图如下

图1-2 伸展树执行完伸展后的合并

伸展树的自顶向下的展开代码如下，

图1-3 伸展树自顶向下的展开代码

伸展树将最近搜索的节点放在最容易搜索的根节点的位置，让其在许多环境中得到应用，比如网络应用中，某些固定内容会被大量重复访问。伸展树可以让这种重复搜索以很高的效率完成。

二.红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树，和AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作使树保持平衡，从而获得较高的查找性能。

红黑树的特性：

(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。

(2) 根节点是黑色。

(4) 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

(5) 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

图2-1 常规的红黑树

在红黑树上查找操作不需要对其修改，但在插入和删除操作中，红黑树的性质可能遭到破坏，需要恢复红黑属性，不过其插入和删除的操作的时间复杂度仍为O(log n)，但是这些操作却有些复杂。

红黑树的插入和删除可以与伸展树以自顶向下的方式进行。

设当前节点为Current，其兄弟节点为Brother，父节点为Parent，祖父节点为Grand，曾祖父为Great（空节点的默认颜色是黑色）。

在自顶向下的插入过程中，若Current节点有两个红孩子时，进行颜色翻转（使Current为红，其两孩子为黑，不管Current是否为根，都令根为黑）。

颜色翻转后，若Current的父节点Parent为红，则进行旋转。

自顶向下的插入操作实现代码如下，

图2-2 红黑树自顶向下的插入过程

在自顶向下的删除过程中，与AVL树同样将删除非叶子节点转换为删除叶子节点，具体过程如下

第一步，检查根，并将根变为红色，

1. 若根有两个黑儿子，向下并进入第二步

2. 其他则进入第二步B情况

第二步，

A情况,当前节点Current有两个黑儿子

A1.兄弟节点Brother节点也有两个黑儿子，翻转Current、Parent和Brother节点的颜色，向下（示意图如下）

图2-3 红黑树自顶向下删除A1的情况

A2.兄弟节点Brother节点的左儿子为红，进行之字形旋转，并翻转Current和Parent颜色，向下（示意图如下）

图2-4 红黑树自顶向下删除A2的情况

A3.兄弟节点Brother节点的右儿子为红，进行一字形旋转，并翻转Current、Parent、Brother和Brother右儿子节点的颜色，再向下（示意图如下）

图2-5 红黑树自顶向下删除A3的情况

B情况,当前节点Current至少有一个红儿子，

Current节点继续向下，若新的Current节点为红，继续向下。若新的Current节点为黑，则单旋转Brother节点和Parent节点，同时翻转Brother和Parent节点，回到第二步；

第三步，最终找到要删除节点，这是一个叶节点，将节点以红节点身份删除，否则转换为删除叶子节点；

第四步，将根恢复为黑色。