python 递归

我想把Python中的递归作为一个专题讨论一下。我在学习的时候，尝试使用“Python递归”作为关键词，在Google和百度中搜索，发现结果大部分是对某个具体例子的递归应用讨论，而对我这样的小白来说，切入点有点高。而我现在需要做的，是从基础概念开始。

想到讨论递归问题，是因为那个著名的“字典序”问题，但还是先从最基本的递归概念开始。我希望我讨论完了这个，自己对递归也有一个基本的了解了。

递归的概念很简单，如果函数包含了对其自身的调用，该函数就是递归的。拗口一点的定义是，如果一个新的调用能在相同过程中较早的调用结束之前开始，那么个该过程就是递归。两个定义都来自《Python核心编程第二版》的第304页。

该书应用了一个经典的例子，来讲述递归的应用：

阶乘函数的定义是：
N! = factorial(N) = 1 * 2 * 3 * ... * N

那么可以用这种方法来看阶乘函数：
factorial(N) = N!
             = N * (N - 1)!
             = N * (N - 1) * (N - 2)!
             = N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 3 * 2 * 1
             = N * factorial(N - 1)

于是我们有了阶乘函数的递归版本：

def factorial(n):
    if n == 0 or n == 1: return 1
    else: return (n * factorial(n - 1))

print factorial(6)

可以很轻易的得到，6!的结果是720。

上面就是这本书关于递归的内容了，但关于Python的递归不仅仅就这么一点知识吧？

来看看这个问题：

还是这个函数factorial(N)，让我们试试N = 999和N = 1000，问题来了，N = 999时能输出正确答案，但当N = 1000时，就出现下面的错误了：
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
于是，请记住，默认的Python有一个可用的递归深度的限制，以避免耗尽计算机中的内存。在我的电脑，这是1000。

接着再来看看在我的第一个递归程序中遇到的问题：

为了试试手，我打算写一个简单函数计算那个传统的问题，1 + 2 + 3 + ... + 100，当然，必须使用递归来做：

我的脚本是这样的，结果出错了。

>>> def add(n):
...     if n > 0: return n + add(n - 1)
...
>>> add(100)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in ?
  File "<stdin>", line 2, in add
  File "<stdin>", line 2, in add
  ...
  File "<stdin>", line 2, in add
TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and 'NoneType'

上网问了之后，得知应该这样写这个脚本：
>>> def add(n):
... if n <= 0: return 0 
... if n > 0: return n + add(n - 1)
...    
>>> add(100)
5050

我本意想偷懒，在n小于等于零的时候，不返回任何东西。但Pyhton所做的和我想的却不一样。如果一个Python函数被设计成不返回任何东西，它会返回None。

这里插入一些关于递归的网方解释，因为我是从网上搜到的这些内容：
（1）递归就是在过程或函数里调用自身；
（2）在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

递归算法一般用于解决三类问题：
（1）数据的定义是按递归定义的。（比如Fibonacci函数）
（2）问题解法按递归算法实现。（回溯）
（3）数据的结构形式是按递归定义的。（比如树的遍历，图的搜索） 　　

递归的缺点：递归算法解题的运行效率较低。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。

【推荐】网文《精通递归程序设计》：
http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/l-recurs.html

递归程序的基本步骤，来自上面这篇文章

每一个递归程序都遵循相同的基本步骤：
1.初始化算法。递归程序通常需要一个开始时使用的种子值（seed value）。要完成此任务，可以向函数传递参数，或者提供一个入口函数，这个函数是非递归的，但可以为递归计算设置种子值。
2.检查要处理的当前值是否已经与基线条件相匹配（base case）。如果匹配，则进行处理并返回值。
3.使用更小的或更简单的子问题（或多个子问题）来重新定义答案。
4.对子问题运行算法。
5.将结果合并入答案的表达式。
6.返回结果。

基线条件（base case）。基线条件是递归程序的最底层位置，在此位置时没有必要再进行操作，可以直接返回一个结果。所有递归程序都必须至少拥有一个基线条件，而且必须确保它们最终会达到某个基线条件；否则，程序将永远运行下去，直到程序缺少内存或者栈空间。

自己总结了一下，要写一个递归的程序，需要这样做：
1.一个基线条件。请在递归函数的一开始就处理这个基线条件。
2.一系列的规则，使对递归函数的每次调用都趋进于直至达到这个基线条件。

好吧，现在看来，基本概念已经差不多了，在回到“字典序”问题之前，先看看这个全排列的问题。题目要求很简单，输入n个数，能自动打印出全排列（Permutation）。比如输入1，2，3，那它的全排列就是123，132，213，231，312，321。

【参考】

在《Pyhon核心编程》第二版第209页第八章练习 续 中，题8-6在函数findPrimeFactors中使用了递归，可以参考： http://www.cnblogs.com/balian/archive/2012/01/11/2318679.html

【推荐】博客：CoderZh的技术博客
http://www.cnblogs.com/coderzh/articles/1202040.html