游戏里面的容斥原理

我们处理游戏Boss掉落时经常碰到一个问题,假设这个BOSS会掉3个部位的装备,

武器:20% 衣服:30% 头盔:50%

那么求,期望次数多少,可以集齐这三件装备

作为程序员,我们先来一段暴力破解,循环1000000万次,也便于我们验证解果

math.randomseed(tostring(os.time()):reverse():sub(1, 6))

local counts = {}

local p1, p2, p3 = 0.2, 0.3, 0.5

for j=1, 10000 do
    local a1, a2, a3 = 0, 0, 0

    for i=1,1000000 do
        local r = math.random()
        if r > p3 then
            a3 = a3 + 1
        elseif r > p2 then
            a2 = a2 + 1
        else
        --elseif r > p1 then
            a1 = a1 + 1
        end

        if a1 > 0 and a2 > 0 and a3 > 0 then
            table.insert(counts, i)
            break
        end
    end
end

print(avg_count/#counts) --打印结果,当然你不一定是这个值:6.6702

但是这出来也只是个近似值,得到一个靠谱值,这个时候容斥原理就出来了,以下解释得真好:

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

再放一下图:

所以:算法变成这样:

print(1/p1+1/p2+1/p3 - 1/(p1+p2) - 1/(p2+p3) - 1/(p1+p3) + 1/(p1+p2+p3))

那如果部位多,那也真够累的,写个通用算法:

--传入数组,取里面的几个元素进行组合
local function combine(arr, n, m, b, result)
    n = n or #arr
--print(' combine', n, m, arr[n])
    assert(n >= m)
    for i=m, n, 1 do
        b[m] = i
        if m > 1 then
            combine(arr, i - 1, m - 1, b, result)
        else
            --用于打印
            local s = {}
            table.foreach(b,function(_,v)
                table.insert(s,arr[v])
            end)
            table.insert(result, s)
        end
    end
end

--combine({'a','b','c', 'd'},nil,2,{})

--将数组相加
local function add(arr)
    assert(type(arr)=='table')
    local r = 0
    for i,v in pairs(arr) do
        r = r + v
    end
    return r
end

--容斥原理
function InclusionExclusion (ppp)
    local result = 0
    for i,v in ipairs(ppp) do
        result = result + 1/v
    end


    local count = #ppp
    for i=2,count - 1 do
        local c = {}
        combine(ppp, nil, i, {}, c)
        --遍历所有的组合
        table.foreach(c, function(_,v)
            --计算组合里面所有的数
            result = result - 1/add(v)
        end)
    end

    result = result + 1/add(ppp)

    return result
end

print(InclusionExclusion({p1,p2,p3}) --打印值:6.6547619047619