【csp2020】 方格取数 题解

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1.题目大意

给定一个 $n\ast m$ 的矩阵，矩阵中每个点 $(i,j)$ 都有一个权值 $f_{(i,j)}$。每次可以向上，向下或向右走。问从 $(1,1)$ 走到 $(n,m)$，经过的路径上点的权值之和最大是多少？

2.思路

这道题我们不难想到动态规划。但是与一般的动规不同的是，本题中有上下右三种走法，因此不能用一般的 $dp$ 解决。

因此我们可以采用化繁为简的策略，即将三种走法分解成 向上、向右 和 向下、向右 两种方法，分别存在数组 $dp1[]$ 和 $dp2[]$ 中。

即用 $dp{1}_{(i,j)}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 只用向下和向右两种走法能凑出的最大值，用 $dp{2}_{(i,j)}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 只用向上和向右两种走法能凑出的最大值。

然后本题还有一个易错点就是，因为可以向上和向下但又要保持不能走重复点，所以应该一列一列从左往右推，也可以理解为将矩阵 $90$ 度翻转一下，然后一行一行从上往下推。

对于第二列开始的每一个点，我们先将其 $dp$ 值赋值为 由它前一列的同一行向右走一格所得到的价值，即

$$dp{1}_{(i,j)}=dp{2}_{(i,j)}=max(dp{1}_{(i,j-1)},dp{2}_{(i,j-1)})+a_{(i,j)};$$

然后我们再分别考虑向上或向下走得到的价值，并与之前得到的初始值取较大值：

$$dp{1}_{(i,j)}=max(dp{1}_{(i,j)},dp{1}_{(i-1,j)}+a_{(i,j)});$$

$$dp{2}_{(i,j)}=max(dp{2}_{(i,j)},dp{2}_{(i+1,j)}+a_{(i,j)});$$

最后，问题的答案就是两种走法得到权值的最大值。

3.注意事项

• 1.因为我们是从第二列开始跑 $dp$，所以要先初始化第一列，第一列的 $dp$ 值就是其对应点的权值；

• 2.因为 $dp$ 数组需要取最大值，所以要先将其初始值赋为一个很小的值；

• 3.因为图中最多会有 ${10}^6$ 个点，且每个点权值最大为 ${10}^4$，也就是说答案的最大值为 ${10}^{1}0$。因此我们需要开 $long$ $long$；

• 4.在统计往上走的 $dp$ 值时，因为是从下往上更新，所以要使用倒序循环枚举。

4.代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
//不开long long见祖宗！！！
using namespace std;

#define N 1010
#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define IOS ios::sync_with_stdio(),cin.tie(),cout.tie()

int n, m, a[N][N], dp_up[N][N], dp_down[N][N];

void init () {
	For (i, 1, n) {
		For (j, 1, n) {
			dp_up[i][j] = dp_down[i][j] = -1e18;
		}
	} //将全图初始值赋为一个很小的值
	dp_up[1][1] = a[1][1];
	dp_down[1][1] = a[1][1]; //将出发点 dp 值赋为 a[1][1]
	return ;
}

signed main() {
	IOS;
	cin >> n >> m;

	For (i, 1, n) {
		For (j, 1, m) {
			cin >> a[i][j];
		}
	}

	init (); //初始化 dp 数组

	For (i, 2, n) {
		dp_up[i][1] = dp_up[i - 1][1] + a[i][1];
		dp_down[i][1] = dp_down[i - 1][1] + a[i][1];
	} //初始化第一列，其值为其上面的数的 dp 值加上这个点的权值。

	For (j, 2, m) {
		For (i, 1, n) {
			int t = max (dp_up[i][j - 1], dp_down[i][j - 1]);
			dp_up[i][j] = dp_down[i][j] = t + a[i][j];
		} //将其先赋值为上一列同一行的数往右走一步得到的价值

		For (i, 2, n) {
			int t = dp_up[i - 1][j] + a[i][j];
			dp_up[i][j] = max (dp_up[i][j], t);
		} //模拟向下走得到的价值，将其与向右走得到的价值取 max

		for (int i = n - 1; i >= 1; i --) {//因为往上走要先更新下面点的 dp 值，所以需要倒序循环。
			int t = dp_down[i + 1][j] + a[i][j];
			dp_down[i][j] = max (dp_down[i][j], t);
		} //模拟向上走得到的价值，将其与向右走得到的价值取 max
	}
	
	//答案为方案1的最大价值与方案2的最大价值中的较大值
	cout << max (dp_up[n][m], dp_down[n][m]) << endl;
	return 0;
}