【Usaco2014Open银组】坑爹的GPS (gpsdual) 题解

洛谷传送门

1.题意简述

有一张有向图，两种 $GPS$ 的 联通情况相同，但连边的路径长度不同。现在在 $1$ 到 $n$ 中找一条路，使其与两个 $GPS$ 的最短路差异最小。

2.样例解释

5 7
3 4 7 1
1 3 2 20
1 4 17 18
4 5 25 3
1 2 10 1
3 5 4 14
2 4 6 5

1

先根据样例画出图形：

然后我们可以算出每个点到 $n$ 号节点的最短路，即：

$$dis1[]=\{6,31,4,25,0\};$$

$$dis2[]=\{9,8,4,3,0\};$$

所以不难发现，第一个导航最希望的道路是 $1->3->4$，第二个导航最希望的道路是 $1->2->4->5$。

当然，如果 $FJ$ 选择其他道路，那么导航会自动切换从当前点到终点的最短道路。也就是说，当 $FJ$ 从点 $i$ 出发，走的边不是$GPS$ 认为的从点 $i$ 出发去终点所要走的边时（即不在点 $i$ 到终点的最短路上）就会发出警告。

回归样例，当他走的是 $1->2->4->5$ 这条道路时，第一个导航会在 $1->2$ 这条边警告，然后到了 $2$ 号点后再计算的最短路就和剩下路径一样了，所以答案就是 $1$。

3.思路

这道题很明显就是一道最短路。但是我们再做题前要先明白最短路的运行性质：

当第 $i$ 个点和第 $j$ 个点通过第 $k$ 条边直接联通，且正在用第 $i$ 条边当前的最短路更新 $j$ 的最短路时，有以下公式：（令 $L(i,j)$ 表示 $i$ 到 $j$ 路径的长度）

$$di{s}_j=di{s}_i+L(i,j)$$

当 $i$ 到终点的距离被更新时，$di{s}_j>di{s}_i+L(i,j)$，当点 $j$ 的距离被更新时，$di{s}_j<di{s}_i+L(i,j)$

特殊的，当两点到终点距离都被更新时，如果更新后 $i$ 仍在 $j$ 到 $n$ 的最短路上，则仍保持 $di{s}_j=di{s}_i+L(i,j)$，否则 $di{s}_j>di{s}_i+L(i,j)$

但是，知道了这么多，题目要怎么写呢？如何判断导航是否要警告呢？我们不难发现，当导航警告时，说明 $i$ 不在 $j$ 的最短路上了，也就是 $di{s}_j>di{s}_i+L(i,j)$。而这个式子中的每个量我们都是能算出来的。

那么现在问题又来了：我应该怎么统计最小警告总次数呢？也很简单，只需再开一张图，将每条边可能鸣笛总次数存为其边权，再跑一遍最短路即可。

然后我们就可以按照以下方式做题：

• 1.跑第一遍最短路，将第一个导航中每个点到终点的距离存在数组 $dis1[]$ 中；

• 2.跑第二遍最短路，将第二个导航中每个点到终点的距离存在数组 $dis2[]$ 中；

• 3.枚举每条边，分别判断两个导航是否需要警告，将每条边警告总次数存为其边权；

• 4.跑第三遍最短路，输出最终警告次数。

4.注意事项

• 1.在跑最短路时，因为是从 $n$ 跑到 $1$，所以存边时要反着存，在统计答案时，因为图是反着存的，所以也是从终点出发，最后输出起点的警告次数。

• 2.每次最短路时，都要先把存图用的数组清空，避免爆炸。

• 3.因为这道题要跑三遍最短路，这里建议写一个函数，用指针分别指向三个存最短路的数组，让代码看起来更清爽。。。

5.代码：

#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long

using namespace std;

#define N 200010
#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define IOS ios::sync_with_stdio(),cin.tie(),cout.tie()
typedef pair <int, int> PII;

struct no {
	int a, b, w1, w2;
}ed[N];

int n, m;
int idx = 0, h[N], w[N], e[N], ne[N];
int dis1[N], dis2[N], dis3[N], st[N];

void add (int a, int b, int c) {
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dijkstra (int ss, int *dis) { //*dis是指针，分别指向三个存最短路的数组
	For (i, 1, n) dis[i] = 0x3f3f3f3f; //指针数组不能用memset
	memset (st, 0, sizeof st);
	dis[ss] = 0;
	
	priority_queue <PII, vector <PII>, greater <PII> > p;
	p.push ({0, ss});
	
	while (!p.empty ()) {
		auto t = p.top ();
		p.pop ();
		
		int ver = t.second, dit = t.first;
		
		if (st[ver]) {
			continue;
		}
		
		st[ver] = true;
		for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
			if (dis[j] > dit + w[i]) {
				dis[j] = dit + w[i];
				p.push ({dis[j], j});
			}
		}
	}
} //标准模板dijkstra

signed main () {
    IOS;
	cin >> n >> m;
	
	For (i, 1, m) {
		int x, y, w1, w2;
		cin >> x >> y >> w1 >> w2;
		ed[i] = {y, x, w1, w2}; //从y连到x,注意存反边
	}

	memset (h, -1, sizeof h);
	idx = 0; //第一次清空
	For (i, 1, m) add (ed[i].a, ed[i].b, ed[i].w1); //根据第一个导航建边
	dijkstra (n, dis1);

	memset (h, -1, sizeof h);
	idx = 0; //第二次清空
	For (i, 1, m) add (ed[i].a, ed[i].b, ed[i].w2); //根据第二个导航建边
	dijkstra (n, dis2);

	// For (i, 1, n) {cout << dis1[i] << ' ';} cout << endl;
	// For (i, 1, n) {cout << dis2[i] << ' ';} cout << endl;

	memset (h, -1, sizeof h);
	idx = 0; //第三次清空
	For (i, 1, m) {
		int cnt = 0; //存储第i条边的警告次数
		if (dis1[ed[i].b] != dis1[ed[i].a] + ed[i].w1) cnt ++; //第一个导航
		if (dis2[ed[i].b] != dis2[ed[i].a] + ed[i].w2) cnt ++; //第二个导航
		add (ed[i].a, ed[i].b, cnt); //建边，边权为其警告次数
	}

	dijkstra (n, dis3); //还是倒着跑
	cout << dis3[1] << endl; //输出起点的警告次数
	return 0;
} //完结撒花！！！！！！