[JOI 2022 Final] 自学 题解

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1.题意简述：

一个学期有 $N$ 天 $N\ast M$ 节课，每天的第 $i$ 节课可以选择效果 $a_i$ 的学习与 $b_i$ 的自习。问应如何安排每节课，使所有功课最小值最大？

2.思路：

这道题想直接模拟非常麻烦，但是如果我们能够灵活运用二分算法，这道题就非常简单了。

考虑到数据范围较大，我们可以在 $0-{10}^{18}$ 的范围内二分枚举答案，写一个 $check$ 函数判断答案是否成立。

在 $check$ 函数中，我们不妨枚举范围较小的天数 $(1\le n\le 3e5)$ ，对于每天的 $m$ 节课，我们采用贪心策略，即当自习效率高于上课效率时，我们优先使用自习。因为每天上课次数只有 $m$ 次，而自习次数是无限的。。。

若上课效率更高，则分两种情况讨论：

• 1.可以在 $m$ 节课内达到二分枚举的答案，则全部上课；

• 2.不可以在 $m$ 节课内达到目标，则将 $m$ 个机会全部用上，再将剩下效率通过自习完成。

最后如果通过上述情况实现后仍无法达到目标，则返回 $false$，若 $n$ 天后仍没有退出，返回 $true$。

3.注意事项：

• 1.在判断是否达到目标时，我们不必统计课程效率，可以统计达到目标最少所需的课程数，这样统计似乎更加简单。。。

• 2.注意统计课程数时，因为需要用到除法的向上取整，而c++中的 $ceil()$ 函数精度问题比较大，所以推荐使用不带 $double$ 类型的向上取整函数：

int calc (int x, int y) {
	return x / y + (x % y != 0);
}

4.代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

#define N 300010
#define For(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define IOS ios::sync_with_stdio(),cin.tie(),cout.tie()

int n, m, a[N], b[N];

int calc (int x, int y) {
	return x / y + (x % y != 0);
}

bool check (int mid) {
	int day = 0;
	For (i, 1, n) {
		if (b[i] > a[i]) day += calc (mid, b[i]);
		else if (a[i] * m >= mid) day += calc (mid, a[i]);
		else day += m + calc (mid - a[i] * m, b[i]);
		if (day > n * m) return false;
	}
	return true;
}

signed main () {
	IOS;
	cin >> n >> m;
	
	For (i, 1, n) cin >> a[i];
	For (i, 1, n) cin >> b[i];
	
	int l = 0, r = LLONG_MAX;
	while (l <= r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check (mid)) {
			l = mid + 1;
		} else {
			r = mid - 1;
		}
	}
	
	cout << l - 1 << endl;
	return 0;
}