【学习笔记】 支配集、覆盖集、独立集与匹配

本博文用来记录在学习二分图匹配中看到的知识点。

注：下面的图G都为无向连通图

一、点支配

【支配】

对于图G中顶点集合V中的某一个点A与另一个点B有边链接，叫做点A支配B。

【点支配集】

对于图G中顶点集合V中的某个顶点子集V'，可以支配V-V'中的其他点，这个点集V'就是点支配集。

【极小支配集】

对于支配集V，他的任何真子集都不是支配集，就称为V是极小支配集。

【最小支配集】

顶点数最小的支配集就是最小支配集。

注意：极小支配集和最小支配集不是一个含义。

例如当前图中有一个极小支配集｛1，3，5｝，因为他的任何真子集都不是支配集。但是最小支配集是｛2，4｝

【点支配数】

最小点支配集中点的个数被称为点支配数。

点支配集性质：当一个图没有孤立顶点时，如果V'是点支配集，那么V-V'也是点支配集。

二、点覆盖

【覆盖】

对于图G上的某一点A，已知有一边E与它链接，点A就覆盖了边E。（这里是点对于边的覆盖）

【点覆盖集】

对于图G，其顶点集合V的子集V'可以覆盖其边集合E中的所有边。那么V'就是点覆盖集。

【极小点覆盖集】

若点覆盖集V'的任何真子集都不是点覆盖集，则称V'是极小点覆盖集。

【最小点覆盖集】

顶点个数最少的点覆盖集称为最小点覆盖集。

注：极小点覆盖集和最小点覆盖集不是同一个概念，理由同极小点支配集和最小点支配集。

【点覆盖数】

最小点覆盖集中的顶点数称为点覆盖数。

三、点独立

【独立】

在图G中，如果点A与点B没有边直接相连，两点间不相邻。就称这两点间独立。（这里是关于点的独立）

【点独立集】

在图G中，顶点集合V的子集V'中的任何两点间均独立，则称V'为点独立集。

【极大点独立集】

若向顶点子集V'中再加入任何其他顶点时V'都不将是点独立集，就称V'是极大点独立集。

【最大点独立集】

顶点数最多的点独立集就是最大点独立集。

【点独立数】

最大点独立集中顶点的个数称为点独立数。

四、边覆盖

【覆盖】

在图G中，对于某一条边E与他的两端点A、B，我们称E覆盖了点A、B。（这里是关于边的覆盖）

【边覆盖集】

在图G中，对于边的集合E的子集E'其中的所有边可以把图G中的顶点集合V中的所有点覆盖，则称E'为边覆盖集。

【极小边覆盖集】

若边覆盖集E'的任何真子集都不是边覆盖集，则称E'为极小边覆盖集。

【最小边覆盖集】

边数最少的边覆盖集称为最小边覆盖集。

【边覆盖数】

最小边覆盖集中的边的数量称为边覆盖数。

五、边独立（匹配）

【独立】

在图G中，若边A与边B没有公共顶点，则称这两条边相互独立。（这里是边独立）

【边独立集（匹配）】

在图G中，对于边的集合E的子集E'，其中的任何两条边均独立，集合E'就称为边独立集。也称为E'为图G的匹配

【极大匹配（极大边独立集）】

在图G中，对于边的集合E的子集E'，如果E'为边独立集且再加入任何一条边都不再是边独立集，则E'被称为极大匹配（极大边独立集）。

【最大匹配（最大边独立集）】

边数最多的匹配称为最大匹配（最大边独立集）。

【边独立数】

最大匹配中边的数量叫做边独立数

【盖点与未盖点】

对图G（U，V）给定的匹配M来说：

1、如果顶点集合V中某点v是M中某个边的端点，则称v是M的盖点。

2、如果顶点集合V中某点v不是M中任何边的端点，则称v是M的未盖点。