树和二叉树
树的相关知识
树型结构是一类重要的非线性数据结构。其中以树和二叉树最为常用，直观看来，树是以分支关系定义的层次结构。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构可用树来形象表示。
树的定义
树是n(n ≥ 0 )个结点的有限集。
若n = 0 ，称为空树；
若n>0，则它满足如下两个条件：
(1).有且仅有一个特定的称为根的结点；
(2)其余结点可分为m(m ≥ 0 )个互不相交的有限集T1,T2,T3,…,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。
显然，树的定义是一个递归的定义。
树一般表示为一个层次结构，如下图:
树的相关术语
结点 ：数据元素以及指向子树的分支。图中的A,B,C等都是结点。
根结点 ：非空树中无前驱结点的结点。图中的A结点。
结点的度 ：结点拥有的子树数。图中A结点有3个子树，其度为3。
树的度 ：树内各结点的度的最大值。上图中树的度为3。
叶子结点(终端结点) ：度为0的结点。图中的F,I,J等都是叶子结点。
分支结点(非终端结点) ：度不为0的结点。A,B,C,D等都是分支结点。
内部结点(中间结点) ：根结点以外的分支结点。B,C,D等都是内部结点。
孩子 结点的子树的根称为该结点的孩子，该结点称为孩子的双亲。图中，E是L的双亲，L是E的孩子。
兄弟节点 有一些结点，它们有共同的双亲，则称这些结点为兄弟结点。图中的H,I,J就是兄弟结点。
双亲在同一层上的结点称为 堂兄弟结点 。图中的G,H就是堂兄弟结点。
结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有的结点。A,D,H结点都是结点M的祖先。
结点的子孙 ：以某结点为根的子树中的任一结点。
树的深度 ：树中结点的最大层次。图中的树的深度为4。
有序树 ：树中结点的各子树从左至右右次序。
无序树 ：树中结点的各子树无次序。
森林 ：是m(m ≥ 0)棵互不相交的树的集合。把根结点删除树就变成了森林；一棵树可以看成是一个特殊的森林；给森林中的各子树加上一个双亲结点，森林就变成了树。
树一定是森林，而森林不一定是树。
树与线性结构的比较
| 线性结构 | 树型结构 |
|---|---|
| 第一个数据元素(无前驱) | 根结点(无双亲，只有一个) |
| 最后一个数据元素(无后继) | 叶子结点(无孩子，可以有多个) |
| 其他数据元素：一个前驱，一个后继 | 其它结点(中间结点)：一个双亲，多个孩子 |
| 一对一 | 一对多 |
树的存储结构
双亲表示法
采用的一组连续的存储空间来存储每个节点。
根节点没有双亲，所以其在数组中存储的值为-1。
其余的节点，只需要存储其父节点对应的数组下标即可。
看图，一目了然。
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 元素 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| 父节点 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 7 |
代码
// 双亲表示法
#define MAX_SIZE 100
typedef int ElemType;
typedef struct PTNode{
ElemType data;//结点元素
int parent;//存储父节点下标
}PTNode;
typedef struct PTree
{
PTNode nodes[MAX_SIZE];//创建树
int n;
}PTree;
孩子表示法
将每个节点的孩子节点都用单链表连接起来形成一个线性结构，n个节点具有n个孩子链表。
代码
// 孩子表示法
typedef int ElemType;
#define MAX_SIZE 100
typedef struct CNode
{
int child;
struct CNode *next;
}CNode;
typedef struct PNode
{
ElemType data;
struct CNode *child;
}PNode;
typedef struct CTree
{
PNode nodes[MAX_SIZE];
int n;
}CTree;
孩子兄弟表示法
以二叉链表作为树的存储结构，又称二叉树表示法。
| 指针域 | 数据域 | 指针域 |
|---|---|---|
| FirstChild | Data | NextBrother |
| 结点第一个孩子 | 结点值 | 结点的下一个兄弟 |
二叉树
二叉树的特点：
（1）每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
（2）二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
二叉树的性质
二叉树具有以下几个性质：
1、二叉树中，第 i 层最多有 2^i-1 个结点。
2、如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有 2^K-1 个结点。
3、二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则 n0=n2+1 。
4、有n个结点的完全二叉树，对各节点从上到下、从左到右依次编号（1~n），则结点之间有如下关系。
若i为某结点a的编号。则a左孩子的编号为2i,右孩子编号为2i+1
满二叉树
如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。
性质：
1、满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1 个。
2、深度为 k 的满二叉树必有 2^k-1 个节点 ，叶子数为 2^(k-1)。
3、满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
4、具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。
完全二叉树
如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树
二叉树的存储方式
孩子表示法
struct node{
char value;//结点元素的值
int left,right;//左孩子下标，右孩子下标
}data[101];
int root=0;//根结点下标
int cnt=0;//下标
二叉树的建立
//注：空结点用字符'.'填充
//方法1
int buildTree(int bt)//输入一个数，就采用先序的方式添加进二叉树中。
{
char ch;
cin>>ch;
if(ch=='.'){
bt=0;
return bt;
}
else{
bt=++cnt;
data[bt].value=ch;
data[bt].left=0;
data[bt].right=0;
data[bt].left=buildTree(bt);
data[bt].right=buildTree(bt);
}
return bt;
}
//方法2
int buildTree2(int bt)
{
char ch;
cin>>ch;
if(ch=='.')return 0;
data[bt].value=ch;
data[bt].left=bt*2;
data[bt].right=bt*2+1;
buildTree2(data[bt].left);
buildTree2(data[bt].right);
return 0;
}
二叉树的四种遍历方式
前序遍历(先序遍历)：
先访问一棵树的根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
遍历序列：ABDHIEJKCFG
void preorder(int bt)
{
if(bt)
{
cout<<data[bt].value;//访问节点元素
preorder(data[bt].left);//遍历左子树
preorder(data[bt].right);//遍历右子树
}
}
中序遍历：
先访问一棵树的左子树，再访问根节点，最后访问右子树。
遍历序列：HDIBJEKAFCG
void inorder(int bt)
{
if(bt)
{
inorder(data[bt].left);//遍历左子树
cout<<data[bt].value;//访问节点元素
inorder(data[bt].right);//遍历右子树
}
}
后序遍历：
先访问一棵树的左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
遍历序列：HIDJKEBFGCA
void postorder(int bt)
{
if(bt)
{
postorder(data[bt].left);//遍历左子树
postorder(data[bt].right);//遍历右子树
cout<<data[bt].value;//访问节点元素
}
}
层序遍历：
首先访问第一层的根结点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着访问第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
遍历序列：ABCDEFGHIGK
//层次遍历需要用到队列
void levelorder(int bt)
{
queue<int> q;
q.push(bt);
while(!q.empty())
{
int t=q.front();
cout<<data[t].value;
if(data[t].left!=0) q.push(data[t].left);
if(data[t].right!=0) q.push(data[t].right);
q.pop();
}
}
