第一类斯特林数·行 题解
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有
\[
x^{\bar{n}}=\sum_{i=0}^n {\begin{bmatrix}n \\i\end{bmatrix}}x^i
\]
其中 \(x^{\bar{n}}\) 表示上升幂，即 \(\prod_{i=x}^{x+n-1}i\)
可以直接用归纳法证明。
\[x^{\overline{n+1}}=(\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^i)(x+n)
\]
\[=\sum_{i=0}^{n+1} (\begin{bmatrix} n \\ i-1 \end{bmatrix} +n \times \begin{bmatrix} n\\i \end{bmatrix})x^i
\]
\[=\sum_{i=0}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}x^i
\]
至于怎么算 \(x^{\bar{n}}\)...可以采取倍增法。
显然 \(x^{\overline{2n}}=x^{\bar{n}}(x+n)^{\bar{n}}\)
假设我们已经知道了 \(x^{\bar{n}}\) ，那么瓶颈就在于如何算出 \((x+n)^{\bar{n}}\)
设 \(f(x)=x^{\bar{n}}\)，那么 \((x+n)^{\bar{n}}\) 就是 \(f(x+n)\)
那么问题就变为怎么从多项式 \(f(x)\) 推到多项式 \(f(x+n)\)
假设 \(f(x)\) 的第 \(i\) 项系数为 \(a_i\) ，那么就可以推导如下：
\[\begin{aligned}
f(x+n)&=\sum_{i=0}^{n}a_i(x+n)^i \\
&= \sum_{i=0}^{n} a_i \sum_{j=0}^i x^j n^{i-j} \binom i j \\
&= \sum_{j=0}^n x^j \sum_{i=j}^n a_i n^{i-j} \binom i j
\end{aligned}
\]
然后拆一下二项式，可以得到：
\[\begin{aligned}
f(x+n)&=\sum_{j=0}^n \frac{x^j}{j!} \sum_{i=j}^n (a_ii!) \frac{n^{i-j}}{(i-j)!}
\end{aligned}
\]
我们设 \(A(i)=a_ii!,B(i)=\frac{n^i}{i!}\)，就有：
\[\begin{aligned}
f(x+n)&=\sum_{j=0}^n\frac{x^j}{j!} \sum_{i=j}^n A(i) \times B(i-j)\\
&= \sum_{j=0}^n \frac{x^j}{j!} \sum_{i=0}^{n-j} A(i+j) \times B(i) \\
&= \sum_{j=0}^n \frac{x^j}{j!} \sum_{i=0}^{n-j} A'(n-j-i) \times B(i)
\end{aligned}
\]
其中 \(A'\) 序列 表示 \(A\) 序列反转后的序列。
后面这个式子是一个卷积形式，可以直接 NTT 优化。
然后就可以 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 算出 \(f(x+n)\)。
至于如何计算 \(f(x)f(x+n)\) 可以也来一发 NTT。
时间复杂度 \(T(n)=T(\frac{n}{2})+\mathcal{O}(n\log n)=\mathcal{O}(n \log n)\)
以下是代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
const ll mod=167772161;
ll G=3,invG;
const int N=1200000;
ll ksm(ll b,int n){
ll res=1;
while(n){
if(n&1) res=res*b%mod;
b=b*b%mod; n>>=1;
}
return res;
}
int read(){
int x=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=(x*10+(ch-'0'))%mod,ch=getchar();
return x;
}
int tr[N];
void NTT(ll *f,int n,int fl){
for(int i=0;i<n;++i)
if(i<tr[i]) swap(f[i],f[tr[i]]);
for(int p=2;p<=n;p<<=1){
int len=(p>>1);
ll w=ksm((fl==0)?G:invG,(mod-1)/p);
for(int st=0;st<n;st+=p){
ll buf=1,tmp;
for(int i=st;i<st+len;++i)
tmp=buf*f[i+len]%mod,
f[i+len]=(f[i]-tmp+mod)%mod,
f[i]=(f[i]+tmp)%mod,
buf=buf*w%mod;
}
}
if(fl==1){
ll invN=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;++i)
f[i]=(f[i]*invN)%mod;
}
}
void Mul(ll *f,ll *g,int n,int m){
m+=n;n=1;
while(n<m) n<<=1;
for(int i=0;i<n;++i)
tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
NTT(f,n,0);
NTT(g,n,0);
for(int i=0;i<n;++i) f[i]=f[i]*g[i]%mod;
NTT(f,n,1);
}
ll inv[N],fac[N];
ll w[N],a[N],b[N],g[N];
void Solve(ll *f,int m){
if(m==1) return f[1]=1,void(0);
if(m&1){
Solve(f,m-1);
for(int i=m;i>=1;--i)
f[i]=(f[i-1]+f[i]*(m-1)%mod)%mod;
f[0]=f[0]*(m-1)%mod;
}
else{
int n=m/2;ll res=1;
Solve(f,n);
for(int i=0;i<=n;++i)
a[i]=f[i]*fac[i]%mod,b[i]=res*inv[i]%mod,res=res*n%mod;
reverse(a,a+n+1);
Mul(a,b,n+1,n+1);
for(int i=0;i<=n;++i)
g[i]=inv[i]*a[n-i]%mod;
Mul(f,g,n+1,n+1);
int limit=1;
while(limit<(n+1)<<1) limit<<=1;
for(int i=n+1;i<limit;++i) a[i]=b[i]=g[i]=0;
for(int i=m+1;i<limit;++i) f[i]=0;
}
}
ll f[N];
void init(int n){
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1;i>=0;--i)
inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
signed main(){
invG=ksm(G,mod-2);
int n,k=0;
cin>>n;
init(n+n);
Solve(f,n);
for(int i=0;i<=n;++i)
printf("%lld ",f[i]);
return 0;
}
