矩阵与矩阵相乘

 定义4 设A=（a_ij) 是一个m×s矩阵，B=（b_ij) 是一个s×n矩阵，那么规定矩 阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C =（c_ij），

 

并把此乘积记作 C = A B 

 

矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，A B≠BA

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都 是可行的）：

（i）（A B）C = A（B C）；

（ii）λ（A B）=（λA）B = A（λB）（其中λ为数）；

（iii） A（B + C）= A B +A C，（B + C）A = BA + CA 

 

对于单位矩阵 E，容易验证 E m A m ×n = A m ×n， A m ×n E n = A m × n，

或简写成 E A = A E = A

 

由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律： A ^k A ^l = A ^k+l，（A ^k）^l = A ^kl，

矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个 n 阶矩阵 A 与 B，一般说来（A B）^k≠A ^k B ^k，只有当 A 与 B 可交换时，才有（A B）^k = A ^k B ^k

类似 可知，例如（A +B）² = A ² +2A B + B ²、（A - B）（A + B）= A ² - B ² 等公式，也只有当 A 与 B 可交换时才成立.