2021牛客多校第二场

来源

G - League of Legends（dp+双端队列优化）

类似斜率dp的思想吧，用一个双端队列维护。

首先预处理，如果存在一个大区间包含了一个小区间，可以把大区间拿出来。因为这个大区间要么单独成为一个组，要么加入小区间所在的组，对最优解没有影响。预处理完后剩下的就是互不包含的若干区间。这一步可以使用排序+单调栈解决。

对剩下区间排序，容易知道最优解就是连续地划分这些区间，很快就可以想到一种dp的算法。得益于预处理，剩下的区间不再互相包含，因此\(i\)到\(j\)的区间的交集就可以简单地表示为\(b[i]-a[j]\)。设dp[k][i]代表前i个区间划分为k组的最大值，可得dp方程为

\[dp[k][i]=max(dp[k-1][j]+b[j+1]-a[i]) \]

移动项得到（省略第一维）

\[dp[i]+a[i]=dp[j]+b[j+1] \]

这样可以用双端队列维护\(dp[j]+b[j+1]\)的合法的最大值，每次先从头部弹出不合法的值，然后从尾部插入新的\(i\)，保持队列内部递减。

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 5e3 + 10;

int q[N];
int s, e;
typedef pair<int, int> PII;
ll dp[N][N];
bool ok[N][N];
vector<PII> seg1;
vector<ll> seg2;
vector<PII> tmp;

bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}

int main() {
    IOS;
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        tmp.push_back({l, r});
    }
    sort(tmp.begin(), tmp.end());
    seg1.push_back({0, 0});
    seg2.push_back(0);
    
    stack<int> st;
    for(int i = 0; i < tmp.size(); i++) { // 预处理
        while(!st.empty() && tmp[st.top()].second >= tmp[i].second) {
            seg2.push_back(tmp[st.top()].second - tmp[st.top()].first);
            st.pop();
        }
        st.push(i);
    }
    while(!st.empty()) {
        seg1.push_back(tmp[st.top()]);
        st.pop();
    }
    reverse(seg1.begin() + 1, seg1.end());
    n = seg1.size() - 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(seg1[1].second - seg1[i].first > 0) {
            ok[1][i] = true;
            dp[1][i] = seg1[1].second - seg1[i].first;
        } else break;
    }
    for(int i = 2; i <= k; i++) {
        s = e = 0;
        q[e++] = i - 1;
        for(int j = i; j <= n; j++) {
            while(s != e && seg1[q[s] + 1].second - seg1[j].first <= 0) s++;
            if(s != e) {
                ok[i][j] = 1;
                int tar = q[s];
                dp[i][j] = dp[i - 1][tar] + seg1[tar + 1].second - seg1[j].first;
            }
            if(ok[i - 1][j]) {
                while(s != e && dp[i - 1][q[e - 1]] + seg1[q[e - 1] + 1].second <= dp[i - 1][j] + seg1[j + 1].second) e--;
                q[e++] = j;
            }
        }
    }
    sort(seg2.begin() + 1, seg2.end(), cmp);
    for(int i = 1; i < seg2.size(); i++) {
        seg2[i] += seg2[i - 1];
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= k; i++) {
        if(ok[i][n] && seg2.size() + i - 1 >= k) {
            ans = max(ans, dp[i][n] + seg2[k - i]);
            // cout << dp[i][n] << " " << k - i << " " << seg2[k - i] << endl;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

I - Penguins （模拟题）

直接bfs，时间复杂度O(20^4)

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 25;
const double eps = 1e-5;

bool vis[N][N][N][N];
char a[N][N], b[N][N];
int fx[4][2] = {
    {1, 0},
    {-1, 0},
    {0, 1},
    {0, -1}
};

int fxidl[4] = {2, 1, 0, 3};
int fxidr[4] = {2, 0, 1, 3};

bool check(int x,int y) {
    if(x <= 0 || x > 20 || y <= 0 || y > 20) return false;
    return true;
}

struct node {
    int x1, y1, x2, y2;
};

node up[N][N][N][N];
int rfx[N][N][N][N];

char cfx[] = "DLRU";

bool bfs(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    queue<node> q;
    q.push({x1, y1, x2, y2});
    vis[x1][y1][x2][y2] = 1;
    while(!q.empty()) {
        node cur = q.front();
        q.pop();
        x1 = cur.x1, y1 = cur.y1, x2 = cur.x2, y2 = cur.y2;
        if(x1 == 20 && y1 == 1 && x2 == 1 && y2 == 1) {
            return true;
        }
        for(int i = 0; i < 4; i++) {
            int f1 = fxidl[i], f2 = fxidr[i];
            int nx1 = x1 + fx[f1][0], ny1 = y1 + fx[f1][1];
            int nx2 = x2 + fx[f2][0], ny2 = y2 + fx[f2][1];
            if(!check(nx1, ny1) || a[ny1][nx1] == '#') {nx1 = x1, ny1 = y1;}
            if(!check(nx2, ny2) || b[ny2][nx2] == '#') {nx2 = x2, ny2 = y2;}
            if(vis[nx1][ny1][nx2][ny2]) continue;
            vis[nx1][ny1][nx2][ny2] = 1;
            q.push({nx1, ny1, nx2, ny2});
            up[nx1][ny1][nx2][ny2] = cur;
            rfx[nx1][ny1][nx2][ny2] = i;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    IOS;
    for(int i = 1; i <= 20; i++) {
        for(int j = 1; j <= 20; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
        for(int j = 1; j <= 20; j++) {
            cin >> b[i][j];
        }
    }
    up[20][20][1][20] = {0, 0, 0, 0};
    
    bfs(20, 20, 1, 20);
    vector<int> ans;
    int x1 = 20, y1 = 1, x2 = 1, y2 = 1;
    while(x1) {
        ans.push_back(rfx[x1][y1][x2][y2]);
        node u = up[x1][y1][x2][y2];
        x1 = u.x1, y1 = u.y1, x2 = u.x2, y2 = u.y2;
    }
    ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    cout << ans.size() << endl;
    for(int i = 0; i < ans.size(); i++) cout << cfx[ans[i]];
    cout << endl;
    x1 = 20, y1 = 20, x2 = 1, y2 = 20;
    a[y1][x1] = 'A';
    b[y2][x2] = 'A';
    for(int i = 0; i < ans.size(); i++) {
        int f1 = fxidl[ans[i]], f2 = fxidr[ans[i]];
        int nx1 = x1 + fx[f1][0], ny1 = y1 + fx[f1][1];
        int nx2 = x2 + fx[f2][0], ny2 = y2 + fx[f2][1];
        if(!check(nx1, ny1) || a[ny1][nx1] == '#') {nx1 = x1, ny1 = y1;}
        if(!check(nx2, ny2) || b[ny2][nx2] == '#') {nx2 = x2, ny2 = y2;}
        a[ny1][nx1] = 'A';
        b[ny2][nx2] = 'A';
        x1 = nx1, y1 = ny1, x2 = nx2, y2 = ny2;
    }    
    for(int i = 1; i <= 20; i++) {
        for(int j = 1; j <= 20; j++) cout << a[i][j];
        cout << " ";
        for(int j = 1; j <= 20; j++) cout << b[i][j];
        cout << endl;
    }
}

J - Product of GCDs（数学）

分别算每个质因子\(p^c\)的贡献。设\(f_{p,c}\)代表数组中至少包含\(p^c\)的数的个数，则取\(k\)个数的方案数就是\(C(f_{p,c},k)\)。从而可得取k个数的gcd恰好包含\(p^c\)的方案数数为\(C(f_{p,c},k)-C(f_{p,c+1},k)\)。故质因子\(p\)的贡献的幂为

\[(C(f_{p,1},k)-C(f_{p,2},k))+2(C(f_{p,2},k)-C(f_{p,3},k))+...+c(C(f_{p,c},k)-C(f_{p,c+1},k))=\sum{C(f_{p,c},k)} \]

注意上面的式子求出来的是幂，要使用欧拉降幂，最后直接对每个质数快速幂再累乘起来即可。使用__int128避免使用快速乘。

注意欧拉降幂的条件，由于给定的模数不一定是素数，有可能会和底数不互质，此时要按情况额外加上一个\(\varphi(P)\)。

欧拉降幂

\(a^b\equiv \begin{cases} a^{b \ \bmod \ \varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\lt \varphi(p)\\ a^{b \ \bmod \ \varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p\)

这题比较卡常，要注意写法。

时间复杂度：

分解质因数暴力求\(\varphi(P)\)，预处理\(\sqrt{P}\)内的质数，复杂度为\(O(\sqrt{P}+T\frac{\sqrt{P}}{log P})\)

\(O(\frac{x}{logx})\)次快速幂（即素数个数，由\(\pi(x)\sim\frac{x}{logx}\)得到）

组合数\(O(nk)\)递推

统计答案大概是\(x\log x\)级别的。

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 8e4 + 10;
const int M = 1e7 + 10;
const double eps = 1e-5;

int pri[M], cnt;
bool isnp[M];
int num[N];
ll C[40001][31];

ll getphi(ll n) {
    ll p = n;
    for(int i = 0; 1ll * pri[i] * pri[i] < p; i++) {
        if(n % pri[i] == 0) {
            p = p / pri[i] * (pri[i] - 1);
            while(n % pri[i] == 0) n /= pri[i];
        } 
    }
    if(n > 1) p = p / n * (n - 1);
    return p;
}

inline ll mul(ll x, ll y, ll m) {
    return (__int128)x * y % m; 
}

inline ll qpow(ll a, ll b, ll m) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = mul(res, a, m);
        a = mul(a, a, m);
        b = b >> 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    IOS;
    isnp[1] = 1;
    for(int i = 2; i < M; i++) {
        if(!isnp[i]) {
            pri[cnt++] = i;          
        }
        for(int j = 0; j < cnt && 1ll * pri[j] * i < M; j++) {
            isnp[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        memset(num, 0, sizeof num);
        int n, k;
        ll P;
        cin >> n >> k >> P;
        ll phi = getphi(P);

        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            C[i][0] = 1;
        }
        C[1][1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= min(k, i); j++) {
                ll tot = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
                C[i][j] = tot;
                if(tot >= 2 * phi) {
                    C[i][j] = tot % phi + phi;
                }
            }
        }
        ll ans = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            num[x]++;
        }

        for(int i = 0; i < cnt; i++) {   
            int p = pri[i];
            if(p > N) break;
            for(int j = p; j < N; j = j * p) {
                int c = 0;
                for(int x = j; x < N; x += j) {
                    c += num[x];
                }
                if(c < k) break;
                ans = mul(qpow(p, C[c][k], P), ans, P);
                if(1ll * j * p >= N) break;
            }
        }
        cout << (ll)ans << endl;
    }
}

/*
注意欧拉降幂的条件，非互质时的处理，不是单纯地模phi(p)。
hack 数据
1
24 7 1038318
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
答案：519160
*/

K - Stack （构造）

使用二元组(var,id)，其中var从1开始递增，代表数组b的值；id从n开始递减。当数组b没有值时，var递增、id递减，然后将二元组插入栈中；当数组b的值为x时，一直弹栈到弹出的二元组var==x，此时令弹出的二元组的id修改为当前的id，将当前的id修改为x，重新插入栈中。

可以发现过程中插入的二元组始终满足题目要求。最后将二元组以var为第一关键字，id为第二关键字排序编号，就可以得到数组a了。

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 3e6 + 10;
const double eps = 1e-5;
typedef long long ll;

typedef pair<int, int> PII;
int b[N];
vector<PII> ans;
int res[N];
int pos[N];
bool cmp(int a, int b) {
    return ans[a - 1] < ans[b - 1];
}

int main() {
    IOS;
    int t;
    // cin >> t;
    t = 1;
    while(t--) {
        ans.clear();
        stack<PII> st;
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = 0;
        bool ok = true;
        for(int i = 1; i <= k; i++) {
            int p, x;
            cin >> p >> x;
            b[p] = x;
            if(x <= 0) ok = false;
        }
        int id = n + 1;
        int val = 0;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            pos[i] = i;
            if(b[i] && st.size() + 1 < b[i]) {
                ok = false;
                break;
            } else {
                id--;
                if(b[i])
                    val = b[i];
                else
                    val++;
                PII pi{val, id};
                while(!st.empty() && st.top() > pi) st.pop();
                st.push(pi);
                ans.push_back(pi);
                // cout << pi.first << " " << pi.second << endl;
            }
        }
        if(ok) {
            sort(pos + 1, pos + 1 + n, cmp);
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                res[pos[i]] = i;
            }
            for(int i = 1; i <= n; i++)
                cout << res[i] << " \n"[i == n];
        } else 
            cout << -1 << endl;
    }
}