数位dp小记

介绍

数位dp一般用于解决区间[L, R]的计数问题。这里的L, R一般非常大。

数位dp基本上是通过求[1, R]之间的满足条件的数。用[1, R] 减去 [1, L]就是区间[L, R]的结果。

正如其名，数位dp就是在数的每个数位上dp，寻找当前位到下一位之间的状态转移关系。

从一道例题开始

下面从例题 不要62 开始。

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

Input
输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

对于一个n位的数，我们从高位到低位枚举每一位的数字是多少。由于不能有62，即如果上一位是6，若当前位枚举到2，那就返回0。至于也不能有4，只要不枚举4即可。
由于有区间的限制，用记忆化搜索是比较好写和易于理解的。所以我们就有了下面的模板：

int f[N][2];
int di[N]; 

int dfs(bool st, int p, bool lmt) { //st为1代表前面是6
    if(!p) return 1;
    if(!lmt && f[p][st] >= 0) return f[p][st];
    int res = 0;
    int maxx = lmt ? di[p] : 9;
    for(int i = 0; i <= maxx; i++) {
        if(i == 4) continue;
        if(st && i == 2) continue; 
        res += dfs(i == 6, p - 1, i == maxx && lmt);
    }
    if(!lmt) f[p][st] = res;
    return res;
} 

int solve(int x) {
    int cnt = 0;
    do {
        di[++cnt] = x % 10;
        x /= 10;
    } while(x);
    return dfs(0, cnt, 1);
}

你可能会觉得，枚举过程中会有前导0怎么办？对于该题来说，不用担心这个问题，因为被计数到的只有0这个数，最后两个区间相减会把这个0减掉。

但是，涉及到有关于0的限制时，就要考虑前导0了，因为前导0不应受到限制。例如上面这道题若改为“不要02”，就要考虑前导0，这时只要添加一个参数lead即可，详见代码。

int f[N][2];
int di[N]; 

int dfs(bool st, int p, bool lmt, bool lead) { 
//不要“02”
//lead代表当前的0是前导0
    if(!p) return 1;
    if(!lmt && f[p][st] >= 0 && !lead) return f[p][st]; 
    int res = 0;
    int maxx = lmt ? di[p] : 9;
    for(int i = 0; i <= maxx; i++) {
        //if(i == 4) continue;
        if(st && i == 2) continue; 
        res += dfs(!lead && i == 0, p - 1, i == maxx && lmt, i == 0 && lead);
    }
    if(!lmt && !lead) f[p][st] = res; //注意记录的是当前位不是前导0时结果，因为状态转移是在非前导0之间进行的
    return res;
} 

int solve(int x) {
    int cnt = 0;
    do {
        di[++cnt] = x % 10;
        x /= 10;
    } while(x);
    return dfs(0, cnt, 1, 1);
}

多样的数位dp

数位dp可以和不同的问题结合在一起，比如回文，ac自动机，整除... 非常有趣。

最重要如何选取状态和高位到低的转移关系（好吧所有dp都是这样的）

比如统计多少个数能被x整除，那么每到下一位就相当于累加上该位的数的余数，最后若余数为0就是能整除。所以状态就是 当前位p 和 余数。

目前我遇到的数位dp有几种类型：

1. 最长单调递增
2. 统计特定字符串出现次数
3. 字符串查找AC自动机
4. 余数相关（整除）

由于算法的复杂度和状态的数目直接挂钩，所以要想办法减少状态的数目。一般是寻找问题的普遍特征（就是必要条件）来显著减少状态的数目。
例如：

1. 寻找含有回文串的数的个数。寻找问题的普遍特征：如果存在回文串，那必存在相邻数相等或相隔一项数相等。所以只要判断当前为和上一位或上上位是否相等即可。
2. 等凹数：找一半是递减的数，令一半由前一半唯一确定。

如果状态的描述比较复杂，要用到状态压缩。
例如：XHXJ's LIS

例题

kuangbin数位dp专题
Junior Mathematician