矩阵快速幂小记
介绍
使用快速幂来加速矩阵的幂运算。常用来求n很大时递推式$$f(n) = k_1 \cdot f(n-1)+k_2 \cdot f(n-2)... k_i \cdot f(n - i)$$的值
实现和证明
由于矩阵\(A\)自乘满足交换律，也满足结合律，所以在计算\(A^m\)时不用担心左乘和右乘的问题，直接套快速幂的模板即可。
如何加速计算递推式\(f(n)\)？以递推式\(f(n)=f(n-1)-2f(n-2)+3f(n-3)\)为例。我们先把系数提出来，然后由矩阵的乘法可以知道
\[f(n)=\left( \begin {array}{cc} 1 & -2 & 3\end{array} \right) \cdot \left( \begin {array}{cc} f(n-1) \\ f(n-2) \\ f(n-3)\end{array} \right)
\]
这样就得到了f(n)。然后为了可以持续计算\(f(n+1),f(n+2)...\)，通过利用矩阵乘法，我们把\(f(n-1),f(n-2)\)和\(f(n)\)组合起来。
\[\left( \begin {array}{cc} f(n) \\ f(n-1) \\ f(n-2)\end{array} \right)=\left( \begin {array}{cc} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array} \right) \cdot \left( \begin {array}{cc} f(n-1) \\ f(n-2) \\ f(n-3)\end{array} \right)
\]
就可以得到
\[\left( \begin {array}{cc} f(n) \\ f(n-1) \\ f(n-2)\end{array} \right)=\left( \begin {array}{cc} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array} \right) ^{n-3} \cdot \left( \begin {array}{cc} f(3) \\ f(2) \\ f(1)\end{array} \right)
\]
这样就可以用矩阵快速幂愉快地求f(n)啦。
