贪心算法案例 - 牛顿迭代法 - 求解非线性方程根的近似解

牛顿迭代法 - 求解非线性方程根的近似解

在算法中，牛顿迭代法主要用于求解非线性方程或优化问题。它是一种迭代算法，通过不断逼近来找到函数的根或者最小化/最大化某个目标函数。

这里呢，我们重点讲一下如何求解线性方程 $F(X)=0$ 近似根的大致步骤。

1. 选择一个初始猜测值$x_0$:
   • 这个初始猜测应该尽可能接近实际的根，一个好的初始猜测可以加速收敛过程，并且有助于避免算法陷入局部极小值或不收敛的情况。
2. 定义迭代公式：
   • 牛顿迭代法的迭代公式是：$X_{(}n+1)=X_n-\frac{F(X_n)}{F^{‘}(X_n)}$
   • 其中 $F^{‘}(X_n)$ 是函数 $F(X)$ 在点 $X_n$ 处的一阶导数。
3. 执行迭代过程：
   • 使用上面的迭代公式。从$X_0$ 开始计算 $X_1,X_2,X_3,...$ ,直到满足停止条件。
4. 设置停止条件：
   • 停止条件通常有两种形式:
     • 当连续两次迭代的结果足够接近时，即 $\mid X_n+1-X_n\mid <ϵ$ ，其中 ϵ 是预设的小正数。
     • 或者当函数值足够接近于零时,即 $|F(X_{(}n+1))|<ϵ$ 。
   • 有时还会设置最大迭代次数以防止无限循环。
5. 检查结果的有效性：
   • 确认最终得到的 X 值确实是 $F(X)=0$ 的根。如果函数在该点附近的行为复杂（如存在多个根或导数为零），可能需要进一步分析。

这里以牛客的一道题来举个例子：

计算一个浮点数的立方根而不使用库函数

我们就可以使用牛顿迭代法来逼近结果。

对于求解X的立方根，我们需要找到满足 $Y^3=X$ 的 $Y$ , 这里可以通过解方程 $F(Y)=Y^3-X=0$ 来实现，牛顿迭代的公式为：

$Y_{(}n+1)=Y_n-\frac{F(Y_n)}{F^{‘}(Y_n)}$

其中 $F(Y)=Y^3-X$ , 导数 $F^{‘}(Y)=3Y^2$

带入后得到：

$Y_{(}n+1)=Y_n-\frac{Y_n^3-X}{3Y_n^2}$

下面是Java代码的实现:

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        double x = 27.0;    // 求Math.sqrt(x)
        double tolerance = 1e-10;   // 允许的误差
        System.out.printf("%f\n",calculateCubeRoot(x, tolerance));
    }

    private static double calculateCubeRoot(double x, double tolerance) {
        if (x == 0) return 0;   // 特殊值处理

        double y = x;   // 猜测初始值
        double diff;    // 计算出来的误差

        do {
            double nextY = y - (y * y * y - x)/(3 * y*y);   // 迭代公式，计算出新的迭代值
            diff = Math.abs(nextY - y); // 计算出新的迭代值与旧的迭代值之间的误差
            y = nextY;  // 更新迭代后的值
        } while (diff > tolerance);

        return y;   // 满足误差后跳出循环直接返回最终迭代后的结果
    }
}

运行结果如下:

3.000000