递推——高级计数技术

递推#

都是来自《离散数学及其应用》第八章中的例题和习题。

递推是指将一个看似复杂，难以求解的问题一步步的转换成小问题，最后到达一个（或若干个）基本解，这些基本解很好想出来(也有的是人为规定的)，然后再依赖这些基本解一步一步反向求解最初的大问题的过程。

举一个最简单和常见的例子，斐波那契数列，这个数列的每一项等于前面两项之和。如下：

$\{1,1,2,3,5,8,13...\}$

如果让你直接求斐波那契数列的第100个数$f(100)$，很难直接想出来，但是我们可以通过找到如下的递推关系：$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$，并且确定基本解$f(1)=1，f(2)=1$(因为递推关系只依赖前面两项，所以只求出基本的两项即可)，之后就可以求出$f(3)$，再用$f(2)+f(3)$求$f(4)$，最后求解到$f(100)$。

很多问题可以找到递推关系，所以这个工具很常用，比如解决具有重叠子问题的递推关系的算法叫“动态规划”，它出现在很多面试题和算法竞赛当中 。

递推关系确实很难想，但想出来的感觉也确实很爽。

下面是题~爽吧

汉诺塔#

有三根柱子和n个直径不同的圆形盘子，开始时这些盘子按照直径大小插在第一根柱子上，我们想把这些盘子按原顺序移动到第二根柱子上，并且移动的过程中直径更大的不能落在直径更小的盘子上。$H_n$为完成操作需要的移动次数，求$H_n$。

对于n个盘子，我们可以使用$H_{n-1}$次移动把这些盘子移动到柱子3上，再使用一次移动把最大的盘子移动到柱子2，再花$H_{n-1}$次把柱子3的盘子移动到柱子2。

$H_n=2H_{n-1}+1$

二进制串#

对于不含两个连续0的n位二进制位串的个数$a_n$。

1. 可以把n位这样的二进制串分成两类，以0结尾的和以1结尾的$a_n=以0结尾的个数+以1结尾的个数$
2. 对于以1结尾的，它的个数为$a_{n-1}$，因为它只是在$n-1$位题目中合法的二进制串后加了个1
3. 对于以0结尾的，它的个数为$a_{n-2}$，因为不能存在两个连续0，所以它的最后两位肯定是10，所以是$a_{n-2}$个
4. 所以$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$
5. 初始条件，$a_1=2$（0,1)，$a_2=3$（01,10,11）

编码字的枚举#

如果一个数字串包含偶数个0，我们认为它是合法的，否则不合法。$a_n$为n位数字串中的合法数字个数，求$a_n$。

1. 把第n个数字分为10种情况
2. 若该数字是1~9则不改变原来串的合法性，这时有$9\times a_{n-1}$个合法串
3. 若该数字是0，则会改变原来串的合法性，原来不合法的（奇数个零）的那些串变为合法的，这时有$10^{n-1}-a_{n-1}$个合法串
4. $a_n=8\times a_{n-1}+10^{n-1}$
5. $a_1=9$

能加多少括号#

$C_n$为表达式$x_0\times x_1\times x_2 \times ... \times x_n$中能插入括号的个数，所有的括号插入必须代表不同的乘法顺序。

列一张表

$C_n$	所有可能性	括号加法个数
$C_0$	$(x_0)$	1
$C_1$	$(x_0\times x_1)$	1
$C_2$	$(x_0\times x_1) \times x_2$ $x_0\times (x_1\times x_2)$	2
$C_3$	$((x_0\times x_1)\times x_2)\times x_3$ $(x_0\times (x_1\times x_2))\times x_3$ $(x_0\times x_1)\times (x_2\times x_3)$ $x_0\times ((x_1 \times x_2)\times (x_3))$ $x_0\times (x_1\times (x_2\times x_3))$	5

可以发现（这他妈谁能发现），从$C_2$开始，每一个式子都有一个乘号在外面，没被括号包裹。以它为界，左边的和右边的都可以看成是之前的子问题。比如拿$C_3$中的第一行和第二行来说，裸漏在外面的乘号是第三个，第三个乘号左边就是$C_2$，乘号右边就是$C_0$，所以$C_3$中乘号在第三个位置的时候有$C_2\times C_0=2\times 1=2$种括号加法。

所以对于每一个乘号位置，它把$x_k$和$x_{k+1}$分开，它能为整体贡献$C_k\times C_{n-k-1}$个括号加法。

所以$C_n=\sum_{k=0}^{n-1}C_k\times C_{n-k-1}$

集合排列#

找到一个关于有n个元素的集合的排列数的递推关系$T(n)$。

1. 当集合只有一个元素的时候，只有一种排列。$T(1)=1$
2. 当我们选中第n个元素的时候，前面$n-1$个元素已经确定，它们有$T(n-1)$个排列。
3. 第n个元素可以插到前面$n-1$个元素排列的任意一个位置，这个位置有n个，所以$T(n)=nT(n-1)$

自动售货机#

一台自动售货机只接受1美元硬币、1美元纸币以及5美元纸币。

找到放n美元到这台售货机的方式数的递推关系$T(n)$，确定初始条件，求买一个10美元的商品有多少种付款方式。

1. 当我们选中5美元纸币的时候，剩余要付的金额是$n-5$，对应的付款方式为$T(n-5)$
2. 当我们选中1美元硬币的时候，付款方式为$T(n-1)$
3. 选中1美元纸币的时候，付款方式为$T(n-1)$
4. 综上，$T(n)=T(n-5)+2T(n-1)$
5. 递推式中依赖n往前第5项，所以至少要找出$T(0)到T(4)$，这些都用不了五元，所以只能选两种一元。
6. $T(0)=1（不付款），T(1) = 2^1=2，T(2)=2^2=4，T(3)=2^3 = 8，T(4) = 2^4 =16$
7. 使用递推关系式求$T(10)$即可，略。

比索#

一个国家使用的货币叫做“比索”，硬币面值有1、2、5、10，纸币价值有5、10、20、50、100。如考虑硬币和纸币的次序，求付n比索时的方式数的递推关系$T(n)$。

1. 和上一题差不多，直接给出递推式
2. $T(n) = T(n-1)+T(n-2)+2T(n-5)+2T(n-10)+T(n-20)+T(n-50)+T(n-100)$

想要实现一个算法，需要至少算出T(0)~T(99)。不过当n很小时，可以忽略一些根本用不到的面额，比如n=10时，只需要考虑1、2、5、10这些面值的纸币和硬币。也就是说上面的递推式加和中的后3项可以去掉。

二进制串2#

求与包含2个连续0的n位二进制串的个数有关的递推式$T(n)$与初始条件。

上面有一道差不多的题目，那个是求不包含两个连续0的。这个需要考虑的情况更多一些。

1. 当二进制串包含两个连续0时，我们称它是合法的。
2. 当第n位选1时，不改变前面$n-1$位的合法性，合法串个数为$T(n-1)$。
3. 当第n位选0时，有两种情况，第一种是第$n-1$位是0，这时前面的$n-2$个二进制串组成的任何串都是合法的，所以有$2^{n-2}$个组合。
4. 当第n位选0并且第$n-1$位是1时，不改变前面$n-2$位的合法性，所以是$T(n-2)$
5. 综上，$T(n)=T(n-1)+T(n-2)+2^{n-2}$。

过桥费#

一个汽车司机只用5美分和10美分硬币付过桥费，每次向收费机投一个硬币，求付n美分时的付款方式数的递推关系$T(n)$。

根据前面的经验，此题非常简单，我们可以很轻易地写出递推关系式，$T(n) = T(n-5) + T(n-10)$

不过不难发现，5元和10元只能组合成5n美元，也就是说司机只能付5的倍数的过桥费，对于$T(5n+i),i\in \{1,2,3,4\}$，可能的付款方式都是0。如果我们按照动态规划的思想，对于$T(n)$把所有$T(k),k<n$都计算出来作为一个数组存储的话，会有很多冗余的数据。就像下面。

这里T(0) = 1，就是当需要支付0美分时，唯一的办法就是什么都不付
{1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,2,0,0,0,...}

这里面有很多0，它们又没啥卵用。

所以可以以其他方式定义$T(n)$。

$T(n)$为想支付5n时的支付方式数，这样$T(n) = T(n-1)+T(n-2)$（选一个五美分和选一个十美分）。

这样，可以这样写算法

function solve(int n){
    // 如果不是5n，直接返回0
    if(n%5!=0)return 0
    T = {1,1} // T(0)和T(1)
    for i=2 to n/5{
        T[i] = T[i-1]+T[i-2]
    }
    return T[n/5]
}

分割平面#

如果$R_n$是一个平面被n条直线分割后划分出的区域个数。这些直线没有互相平行的，没有三条直线交于一点，找出$R_n$的递推关系式。

1. 每次添加一条合乎题目要求的直线，必会且只会与$n-1$条原来就存在的直线相交
2. 这原来的$n-1$条直线划分了$n$个区域
3. 新增的直线把这$n$个区域分割成$2n$个区域
4. 新增了$2n-n=n$个区域
5. 所以$R_n=R_{n-1}+n$
6. 初始条件 $R_0=1$

可能不好想象，自己画个图吧。

原书答案中给的解释大概是，想象新增一条直线时，会交于原来的$(n-1)$个直线，想象从直线的一端出发，每经过一个交点，会把原来的一个平面分割成两个，当经过$n-1$个交点后，最后还有一个，所以新增了n个。

二进制串3#

求出具有包含偶数个0的n位二进制串个数有关的递推关系$T(n)$。

1. 当第n位为1时，有$T(n-1)$个这样的二进制串
2. 当第n位为0时，有包含奇数个0的$n-1$位二进制串个
3. 包含奇数个0的n位二进制串个数为$2^n-T(n)$
4. 所以当第n位为0时，有$2^{n-1}-T(n-1)$个包含偶数个0的n位二进制串
5. $T(n) = T(n-1)+2^{n-1}-T(n-1) = 2^{n-1}$

多米诺骨牌#

找到与使用$1\times 2$的多米诺骨牌完全覆盖$2\times n$棋盘的方式数的递推关系式$T(n)$。(提示：考虑棋盘右上角横放和竖放两种情况)

1. 当右上角的牌竖放时，牌大小$2\times 1$，此时的方式数相当于在$2\times (n-1)$大小的棋盘上的摆放方式数，显然是$T(n-1)$种
2. 当右上角的牌横放时，牌大小$1\times 2$，此时若想填满棋盘，它的下面也必须是一个横放的牌，这时的方式数相当于在$2\times (n-2)$大小的棋盘上的摆放方式数，为$T(n-2)$种
3. $T(n) = T(n-1) + T(n-2)，T(1)=1，T(2)=2$，就是右移了一位的斐波那契数列。

地砖#

用地砖铺一块人行横道，地砖是红色、绿色或灰色的，如果没有两块红砖相邻且同色的地砖是不加区别的，找出与用n块砖铺一条路的方式数的递推关系式$T(n)$

1. 当对一个本来就没有两块相邻红砖的$n-1$块砖组成的人行横道铺砖，下一块砖选择绿色和灰色时，不可能产生连续两块红色，所以分别有$T(n-1)$种方式，就是$2T(n-1)$。
2. 当铺红砖时，想保证这条路没有两块相邻红砖，上一块砖就得是绿的或者灰的，这时分别有$T(n-2)$种方式，就是$2T(n-2)$
3. $T(n) = T(n-1) + T(n-2)$

此题可以看作组成长度为n的不包含两个连续0的3进制串有多少种方式。

斐波那契反向证明#

请证明$f_n=5f_{n-4}+3f_{n-5}$#

$$\begin{aligned} &5f_{n-4}+3f_{n-5}\\ &= 3(f_{n-4}+f_{n-5})+2f_{n-4}\\ &= 3f_{n-3}+2f_{n-4}\\ &= 2f_{n-2} + f_{n-3}\\ &= f_{n-1} + f_{n-2}\\ &= f_n \end{aligned}$$

请使用上述结论证明$f_{5n}$可以被5整除#

我们使用数学归纳法。

当n为1，$f_{5\times 1} = 5$可以被5整除。假设前提条件成立，则$f_{5(n+1)}=5f_{5_n+1}+3f_{5n}$，这个式子能被5整除，所以成立。