数论——同余

同余#

如果$a\div n$和$b\div n$余数相同，则说a和b同余，记作$a\equiv b(\mod n)$。

如

$$8\equiv 1(\mod 7)\\ 6\equiv 2(\mod 4)$$

同余类#

任意一个数m除n的余数在0_{n-1之间。这0}n个数就代表一个数余n的同余类。

如7的同余类有$[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]$。任何一个数除7得到的余数必在这些同余类中。

看一下日历

每一列中的数余7得到的余数都相等，第一列余7都是1，则这几个数在$[1]$这个同余类中，第二列则在$[2]$的同余类中。依此类推。

同余类性质#

• 定理1： $[a]+[b]=[a+b]$
  $$a=nq_1+r_1\\ b=nq_2+r_2\\ a+b=n(q_1+q_2)+r_1+r_2\\ \therefore [a]+[b] = [a+b]$$

• 定理2： $[a][b]=[ab]$
• 定理3： $[a]([b]+[c])=[a][b]+[a][c]$

除了上面两个基本的性质外，同余还有一个最重要的性质，它直接引出了后面的费马小定理和欧拉定理。

• 定理4： 如果m是素数则有$[a^m]=[a]$
  举例子
  $$11\equiv 2(\mod 3)\\ 11,2\in [2]\\ 11^3=1331\\ 1331/3=443..2\in [2]$$

同余性质#

$$如果a\equiv c(\mod n),\ b\equiv d(\mod n)\\ 那么a\plusmn b=c\plusmn d(\mod n)\\ ab=cd(\mod n)\\ ka\equiv kb(\mod n)\\ a^m\equiv b^m(\mod n)\\ $$

还有一个性质，如果c和m互素，则c可以从同余式中消去，如下

$$ac=bc(\mod m)\\ 如果(c,m)=1\\ a=b(\mod m)$$

费马小定理#

费马小定理是说，如果$(a,m)=1$，$m$是素数，则

$$a^{m-1}\equiv 1(\mod n)$$

证明下

$$m不是1,2,3,...,m-1的素因数\\ \because (a,m)=1\therefore m不是a的素因数\\ \therefore m不是a,2a,3a,...,a(m-1)的素因数\\ \therefore a^{m-1}(m-1)!=(m-1)!(\mod m)\\ \because ((m-1)!,m)=1\\ \therefore a^{m-1}=1(\mod m)$$

欧拉定理#

欧拉定理是说，如果$(a,m)=1$，$\varphi (m)$代表1~m之间和m互素的正整数个数，则

$$a^{\varphi (m)}=1(\mod m)$$

证明

$$\because设a_1,a_2,...,a_r为1到m之间和m互素的正整数，(a,m)=1\\ \therefore a_1a\ a_2a\ ... a_3a=a_1a_2...a_r(\mod m)\\ a^r=(\mod m)$$

例子#

$求13^{2004}除以17的余数$

$$\because (7,13)=1,\ 且17是素数\\ \therefore 13^{16}\equiv 1(\mod 17)\\ 13^{2004}=(13^{16})^{125}+13^4\equiv 13^4(\mod 17)\\ 13^4=169^2=(170-1)^2=(-1)^2(\mod 17)\\ \therefore 13^{2004}\equiv 1(\mod 17)$$