数论——同余

同余

如果\(a\div n\)和\(b\div n\)余数相同，则说a和b同余，记作\(a\equiv b(\mod n)\)。

如

\[8\equiv 1(\mod 7)\\ 6\equiv 2(\mod 4) \]

同余类

任意一个数m除n的余数在0_{n-1之间。这0}n个数就代表一个数余n的同余类。

如7的同余类有\([0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]\)。任何一个数除7得到的余数必在这些同余类中。

看一下日历

每一列中的数余7得到的余数都相等，第一列余7都是1，则这几个数在\([1]\)这个同余类中，第二列则在\([2]\)的同余类中。依此类推。

同余类性质

• 定理1： \([a]+[b]=[a+b]\)
  \[a=nq_1+r_1\\ b=nq_2+r_2\\ a+b=n(q_1+q_2)+r_1+r_2\\ \therefore [a]+[b] = [a+b] \]

• 定理2： \([a][b]=[ab]\)
• 定理3： \([a]([b]+[c])=[a][b]+[a][c]\)

除了上面两个基本的性质外，同余还有一个最重要的性质，它直接引出了后面的费马小定理和欧拉定理。

• 定理4： 如果m是素数则有\([a^m]=[a]\)
  举例子
  \[11\equiv 2(\mod 3)\\ 11,2\in [2]\\ 11^3=1331\\ 1331/3=443..2\in [2] \]

同余性质

\[如果a\equiv c(\mod n),\ b\equiv d(\mod n)\\ 那么a\plusmn b=c\plusmn d(\mod n)\\ ab=cd(\mod n)\\ ka\equiv kb(\mod n)\\ a^m\equiv b^m(\mod n)\\ \]

还有一个性质，如果c和m互素，则c可以从同余式中消去，如下

\[ac=bc(\mod m)\\ 如果(c,m)=1\\ a=b(\mod m) \]

费马小定理

费马小定理是说，如果\((a,m)=1\)，\(m\)是素数，则

\[a^{m-1}\equiv 1(\mod n) \]

证明下

\[m不是1,2,3,...,m-1的素因数\\ \because (a,m)=1\therefore m不是a的素因数\\ \therefore m不是a,2a,3a,...,a(m-1)的素因数\\ \therefore a^{m-1}(m-1)!=(m-1)!(\mod m)\\ \because ((m-1)!,m)=1\\ \therefore a^{m-1}=1(\mod m) \]

欧拉定理

欧拉定理是说，如果\((a,m)=1\)，\(\varphi (m)\)代表1~m之间和m互素的正整数个数，则

\[a^{\varphi (m)}=1(\mod m) \]

证明

\[\because设a_1,a_2,...,a_r为1到m之间和m互素的正整数，(a,m)=1\\ \therefore a_1a\ a_2a\ ... a_3a=a_1a_2...a_r(\mod m)\\ a^r=(\mod m) \]

例子

\(求13^{2004}除以17的余数\)

\[\because (7,13)=1,\ 且17是素数\\ \therefore 13^{16}\equiv 1(\mod 17)\\ 13^{2004}=(13^{16})^{125}+13^4\equiv 13^4(\mod 17)\\ 13^4=169^2=(170-1)^2=(-1)^2(\mod 17)\\ \therefore 13^{2004}\equiv 1(\mod 17) \]