数论——最大公因数

最大公因数#

如果$u|a,u|b$，而且$u$是$a,b$的共同因数中最大的那个，则称u是ab的最大公因数，记作$(a,b)=u$。

• $(a,b)=1$则$a,b$互素。
• 对于$a_1,a_2...a_n$，若$(a_i,a_j)=1\ (1\leq i<j\leq n)$则它们两两互素。

辗转相除法#

辗转相除法应该都学过，我们主要说它的数学原理。在这之前先看看算法。

$$a=bq_1+r_1\\ b=r_1q_2+r_2\\ r_1=r_2q_3+r_3\\ ...\\ r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n$$

这个$r_n$就是最大公因数。

辗转相除的意思就是，如果$a,b$能被$n$整除，那么$a\mod b$同样也能被$n$整除。所以(a,b)=(b,r)。所以只要不断地递归求余，最后一个余数就是最大公因数。

下面给出C++实现。

// a must > b
int gcd(int a,int b){
	int r;
	while(r!=0){
		r=a%b;
		a=b;
		b=r;
	}
	return a;
}

int main(){
	cout << gcd(20,15) << endl;
}

辗转相除的意思就是，如果$a,b$能被$n$整除，那么$a\mod b$同样也能被$n$整除。所以只要不断地递归求余，最后一个余数必是最大公因数。

证明

$$如果 (a,b)=u，那么\\ \because u|a,u|b\\ \therefore a=su,b=tu\\ \therefore su=tuq+r\\ \therefore r=u(s-tq)\\ \therefore u|r$$

素因式分解#

对于每个数，都能分解成若干个素因数的乘积。在找$(a,b)$的时候，如果我们把$a,b$分解成若干素因数的乘积，那么对寻找最大公因数有些帮助。

$$a=18,b=24\\ a=2\times 3\times 3 = 2^1\times 3^2\\ b=2\times 2\times 2 \times 3=2^2\times 3^1$$

然后我们分别取每个素因数里指数最小的那个(必要时可以出现零指数)，并乘起来，结果就是最大公因数。

$$(a,b)=2^1\times 3^1 = 6$$

给出一般公式

$$a=p_1^{a_1}\times p_1^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}\\ b=p_1^{b_1}\times p_1^{b_2} \times ... \times p_n^{b_n}\\ (a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times ... \times p_n^{min(a_n,b_n)}$$

使用素因式分解还能寻找最小公倍数。

最小公倍数#

如果$a|c$，$b|c$，并且$c$是所有满足的整数中最小的那个，$c$就称为$a,b$的最小公倍数，记作$[a,b]=c$。

如$[4,6]=12$。

素因式分解找最小公倍数#

对于最小公倍数，我们只需要选择素因子列表中指数比较大的那个就好了。

$$a=p_1^{a_1}\times p_1^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}\\ b=p_1^{b_1}\times p_1^{b_2} \times ... \times p_n^{b_n}\\ [a,b]=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times ... \times p_n^{max(a_n,b_n)}$$

举个例子

$$a=4,b=6\\ a=2^2,b=2^1\times 3^1\\ [a,b]=2^{max(2,1)}\times 3^{max(1,0)}=2^2\times 3^1=12$$

最大公因数和最小公倍数之间的线性关系#

$$ab=(a,b)\times [a,b]$$

使用素因数分解法不太适合计算机，辗转相除比较适合计算机，所以求解最小公倍数可以利用这个线性关系。

//lcm是最小公倍数 gcd是使用辗转相除法实现的最大公因数
function lcm(a,b)
	tmp = gcd(a,b)
	return a*b/tmp

最大公因数线性组合表示#

最大公因数总可以以线性组合的方式表示

$$(a,b)=sa+tb$$